cho hai số dương x,y thỏa mãn x^3+y^3=3xy-1 Tính giá trị của biểu thức A= x^2019+y^2020 ai giải được cho 5 sao 18/11/2021 Bởi Valentina cho hai số dương x,y thỏa mãn x^3+y^3=3xy-1 Tính giá trị của biểu thức A= x^2019+y^2020 ai giải được cho 5 sao
Đáp án: $A = 2$ Giải thích các bước giải: $\quad x^3 + y^3 = 3xy – 1$ $\to (x+y)^3 – 3xy(x+y) – 3xy +1=0$ $\to (x+y+1)[(x+y)^2 – (x+y) +1] – 3xy(x+y+1)=0$ $\to (x+y+1)(x^2 + 2xy + y^2 – x – y + 1 – 3xy)=0$ $\to x^2 – xy + y^2 – x – y + 1= 0 \quad (Do\,\, x+y+1>0)$ $\to 4x^2 – 4xy + 4y^2 – 4x – 4y +4 = 0$ $\to (4x^2 – 4xy + y^2 – 4x + 2y +1) + (3y^2 – 6y + 3) = 0$ $\to (-2x + y + 1)^2 + 3(y-1)^2 = 0$ $\to \begin{cases}-2x + y +1 = 0\\y – 1 = 0\end{cases}$ $\to \begin{cases}x =1\\y = 1\end{cases}$ $\to x^{2019} + y^{2020} = 1^{2019} + 1^{2020}$ $\to A = 1 +1 = 2$ Bình luận
ta có x^3+y^3=3xy-1 (x+y)^3-3xy(x+y)=3xy-1 (x+y)^3-3xy(x+y)-3xy+1=0 [(x+y)^3+1]-3xy(x+y+1)=0 (x+y+1)(x^2+2xy+y^2-x-y+1)-3xy(x+y+1)=0 (x+y+1)(x^2+2xy+y^2-x-y+1)-3xy(x+y+1)=0 (x+y+1)(x^2+2xy+y^2-x-y+1-3xy)=0 (x+y+1)(x^2-xy+y^2-x-y+1)=0 mà x,y dương nên x+y+1 luôn dương suy ra x^2-xy+y^2-x-y+1=0 hay 2x^2-2xy+2y^2-2x-2y+2=0 (x^2-2xy+y^2)+(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)=0 (x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2=0 mà (x-y)>0 ; (x-1)>0 ;(y-1)>0 suy ra x-y=x-1=y-1=0 hay x=y=1 nên A=1^2019+1^2020 1+1=2 Bình luận
Đáp án:
$A = 2$
Giải thích các bước giải:
$\quad x^3 + y^3 = 3xy – 1$
$\to (x+y)^3 – 3xy(x+y) – 3xy +1=0$
$\to (x+y+1)[(x+y)^2 – (x+y) +1] – 3xy(x+y+1)=0$
$\to (x+y+1)(x^2 + 2xy + y^2 – x – y + 1 – 3xy)=0$
$\to x^2 – xy + y^2 – x – y + 1= 0 \quad (Do\,\, x+y+1>0)$
$\to 4x^2 – 4xy + 4y^2 – 4x – 4y +4 = 0$
$\to (4x^2 – 4xy + y^2 – 4x + 2y +1) + (3y^2 – 6y + 3) = 0$
$\to (-2x + y + 1)^2 + 3(y-1)^2 = 0$
$\to \begin{cases}-2x + y +1 = 0\\y – 1 = 0\end{cases}$
$\to \begin{cases}x =1\\y = 1\end{cases}$
$\to x^{2019} + y^{2020} = 1^{2019} + 1^{2020}$
$\to A = 1 +1 = 2$
ta có x^3+y^3=3xy-1
(x+y)^3-3xy(x+y)=3xy-1
(x+y)^3-3xy(x+y)-3xy+1=0
[(x+y)^3+1]-3xy(x+y+1)=0
(x+y+1)(x^2+2xy+y^2-x-y+1)-3xy(x+y+1)=0
(x+y+1)(x^2+2xy+y^2-x-y+1)-3xy(x+y+1)=0
(x+y+1)(x^2+2xy+y^2-x-y+1-3xy)=0
(x+y+1)(x^2-xy+y^2-x-y+1)=0
mà x,y dương nên x+y+1 luôn dương suy ra x^2-xy+y^2-x-y+1=0
hay 2x^2-2xy+2y^2-2x-2y+2=0
(x^2-2xy+y^2)+(x^2-2x+1)+(y^2-2y+1)=0
(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2=0
mà (x-y)>0 ; (x-1)>0 ;(y-1)>0 suy ra x-y=x-1=y-1=0 hay x=y=1
nên A=1^2019+1^2020
1+1=2