cho hai số dương x,y thỏa mãn x^3+y^3=3xy-1 Tính giá trị của biểu thức A= x^2019+y^2020 ai giải được cho 5 sao

Đáp án:

$A = 2$

Giải thích các bước giải:

$\quad x^3 + y^3 = 3xy – 1$

$\to (x+y)^3 – 3xy(x+y) – 3xy +1=0$

$\to (x+y+1)[(x+y)^2 – (x+y) +1] – 3xy(x+y+1)=0$

$\to (x+y+1)(x^2 + 2xy + y^2 – x – y + 1 – 3xy)=0$

$\to x^2 – xy + y^2 – x – y + 1= 0 \quad (Do\,\, x+y+1>0)$

$\to 4x^2 – 4xy + 4y^2 – 4x – 4y +4 = 0$

$\to (4x^2 – 4xy + y^2 – 4x + 2y +1) + (3y^2 – 6y + 3) = 0$

$\to (-2x + y + 1)^2 + 3(y-1)^2 = 0$

$\to \begin{cases}-2x + y +1 = 0\\y – 1 = 0\end{cases}$

$\to \begin{cases}x =1\\y = 1\end{cases}$

$\to x^{2019} + y^{2020} = 1^{2019} + 1^{2020}$

$\to A = 1 +1 = 2$