Cho hai số thực dương $a,b$ thỏa mãn $a(2a – 1) + b(2b -1) = 2ab$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{a^3 + 2021}{b} + \dfrac{b^3 + 2021}{a}$

0 bình luận về “Cho hai số thực dương $a,b$ thỏa mãn $a(2a – 1) + b(2b -1) = 2ab$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{a^3 + 2021}{b} + \dfrac{b^3 + 2021}{a}$”

1. Đáp án:

   cách dài …

   Ta có : 

   `a(2a – 1) + b(2b – 1) = 2ab`

   `-> 2a^2 – a + 2b^2 – b = 2ab`

   `-> 2ab + a + b = 2(a^2 + b^2) >= (a + b)^2`

   Mặt khác : `(a + b)^2/2 + a + b >= 2ab + a + b`

   `-> (a + b)^2/2 + (a + b) >= (a + b)^2`

   `-> a + b >= (a+  b)^2/2`

   `-> a + b <= 2`

   Ta có : 

   `P = (a^3 + 2021)/b + (b^3 + 2021)/a`

   `= a^3/b + 2021/b + b^3/a + 2021/a`

   `= (a^2)^2/(ab) + (b^2)^2/(ab) + 2021(1/a + 1/b)`

   `>= (a^2 + b^2)^2/(2ab) + 2021 . 4/(a + b) >= (1/2(a + b)^2)^2/((a + b)^2/2) + 8084/(a + b) = (a + b)^2/2 + 8084/(a + b) = (a + b)^2/2 + 4/(a + b) + 4/(a + b) + 8076/(a + b) >= 3`$\sqrt[3]{\dfrac{(a + b)^2}{2} . \dfrac{4}{a + b} . \dfrac{4}{a + b}}$ `+ 8076/2 = 6 + 4038 = 4044`

   Dấu “=” xảy ra `<=> a = b = 1`

   Vậy $Min_{P} = 4044$ `<=> a = b = 1`

   Giải thích các bước giải:

    

   Bình luận