Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a+b=2 tìm giá trịowns nhất của biểu thức P=√3a^2+ab+√3b^2+ab

Đáp án:

$MAX_{P}=4$ khi $a=b=1$

Giải thích các bước giải:

$P=\sqrt{3a^2+ab}+\sqrt{3b^2+ab}$

$⇔ P^2=(\sqrt{a(3a+b)}+\sqrt{b(3b+a)})^2$

$⇔ P^2=(\sqrt{a}.\sqrt{3a+b}+\sqrt{b}.\sqrt{3b+a})^2$

$\text{Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski ta có:}$

$(\sqrt{a}.\sqrt{3a+b}+\sqrt{b}.\sqrt{3b+a})^2 \leq (a+b)(3a+b+3b+a)$

$⇔ P^2 \leq (a+b).[4(a+b)]=2.4.2=16$

$⇒ P \leq 4$

$\text{Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{\dfrac{3a+b}{3b+a}}$}$

$⇔ \dfrac{a}{b}=\dfrac{3a+b}{3b+a}$

$⇔ 3ab+a^2=3ab+b^2$

$⇔ a=b=\dfrac{a+b}{2}=1$

$\text{Vậy GTLN của P là $4$ khi $a=b=1$}$