Toán Cho hai số thực dương x y thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A=xy+1/xy 05/07/2021 By Melody Cho hai số thực dương x y thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A=xy+1/xy
Đáp án: `A=xy+1/(xy)` `<=>A=xy+1/(16xy)+15/(16xy)` Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho hai số dương ta có: `xy+1/(16xy)>=2\sqrt{1/16}=1/2` Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có: `4xy<=(x+y)^2` `<=>4xy<=1` `<=>16xy<=4` `<=>15/(16xy)<=15/4` `=>A>=1/2+15/4=17/4`. Dấu “=” xảy ra khi \(\begin{cases}x+y=1\\xy=\dfrac{1}{16xy}\\x=y\\\end{cases}\) `<=>x=y=1/2`. Trả lời
Đáp án: Giải thích các bước giải: `A = xy + 1/(xy)` `<=> A = 16xy + 1/(xy) – 15xy` Vì x , y là 2 số dương `=>` Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số `16xy` và `1/(xy)` , ta có: `16xy + 1/(xy) ≥ 2 sqrt { 16xy . 1/(xy) }` `<=> 16xy + 1/(xy) ≥ 2 sqrt { 16 }` `<=> 16xy + 1/(xy) ≥ 2 . 4` `<=> 16xy + 1/(xy) ≥ 8 (1)` Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số `x` và `y` , ta có: `x + y ≥ 2 sqrt { xy }` `<=> ( x + y )^2 ≥ ( 2 sqrt { xy })^2` `<=> 1^2 ≥ 4xy` `<=> 1 ≥ 4xy` `<=> 1/4 ≥ xy` `<=> -1/4 ≤ -xy` `<=> 15 . ( -1/4 ) ≤ -15xy` `<=> -15/4 ≤ -15xy (2)` Từ (1) và (2) `=> 16xy + 1/(xy) – 15xy ≥ 8 – 15/4` `<=> A ≥ 17/4` Dấu ‘=’ xảy ra khi $\left \{ {{16xy = 1/xy} \atop {x=y}} \right.$ `<=>` $\left \{ {{16(xy)^2 = 1} \atop {x=y}} \right.$ `<=>` $\left \{ {{(xy)^2 = 1/16} \atop {x=y}} \right.$ `<=>` $\left \{ {{xy = 1/4} \atop {x=y}} \right.$ `<=> x = y = 1/2` Vậy GTNN của `A` là `17/4` khi `x = y = 1/2` Trả lời
Đáp án:
`A=xy+1/(xy)`
`<=>A=xy+1/(16xy)+15/(16xy)`
Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho hai số dương ta có:
`xy+1/(16xy)>=2\sqrt{1/16}=1/2`
Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có:
`4xy<=(x+y)^2`
`<=>4xy<=1`
`<=>16xy<=4`
`<=>15/(16xy)<=15/4`
`=>A>=1/2+15/4=17/4`.
Dấu “=” xảy ra khi \(\begin{cases}x+y=1\\xy=\dfrac{1}{16xy}\\x=y\\\end{cases}\) `<=>x=y=1/2`.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
`A = xy + 1/(xy)`
`<=> A = 16xy + 1/(xy) – 15xy`
Vì x , y là 2 số dương `=>` Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số `16xy` và `1/(xy)` , ta có:
`16xy + 1/(xy) ≥ 2 sqrt { 16xy . 1/(xy) }`
`<=> 16xy + 1/(xy) ≥ 2 sqrt { 16 }`
`<=> 16xy + 1/(xy) ≥ 2 . 4`
`<=> 16xy + 1/(xy) ≥ 8 (1)`
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số `x` và `y` , ta có:
`x + y ≥ 2 sqrt { xy }`
`<=> ( x + y )^2 ≥ ( 2 sqrt { xy })^2`
`<=> 1^2 ≥ 4xy`
`<=> 1 ≥ 4xy`
`<=> 1/4 ≥ xy`
`<=> -1/4 ≤ -xy`
`<=> 15 . ( -1/4 ) ≤ -15xy`
`<=> -15/4 ≤ -15xy (2)`
Từ (1) và (2)
`=> 16xy + 1/(xy) – 15xy ≥ 8 – 15/4`
`<=> A ≥ 17/4`
Dấu ‘=’ xảy ra khi
$\left \{ {{16xy = 1/xy} \atop {x=y}} \right.$
`<=>` $\left \{ {{16(xy)^2 = 1} \atop {x=y}} \right.$
`<=>` $\left \{ {{(xy)^2 = 1/16} \atop {x=y}} \right.$
`<=>` $\left \{ {{xy = 1/4} \atop {x=y}} \right.$
`<=> x = y = 1/2`
Vậy GTNN của `A` là `17/4` khi `x = y = 1/2`