Cho hai số thực x,y thoả mãn x^2+y^2+xy=1 . Tìm Max, min của P=x^2 – xy + y^2 cần gấp TT

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Cách làm đơn giản:

Từ giả thiết ta có $x^2+y^2+xy=1 ⇒x^2+y^2+xy>0$

$P=x^2-xy+y^2=\dfrac{x^2-xy+y^2}{1}=\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}$

$⇒P=\dfrac{3(x^2+xy+y^2)-2x^2-4xy-2y^2}{x^2+xy+y^2}=3-\dfrac{2(x+y)^2}{x^2+xy+y^2} \leq 3$

$⇒P_{max}=3$ khi $x+y=0⇔(x;y)=(1;-1);(-1;1)$

Lại có:

$P=\dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}=\dfrac{3x^2-3xy+3y^2}{3(x^2+xy+y^2)}$

$⇒P=\dfrac{(x^2+xy+y^2)+2(x^2-2xy+y^2)}{3(x^2+xy+y^2)}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2(x-y)^2}{3(x^2+xy+y^2)} \geq \dfrac{1}{3}$

$⇒P_{min}=\dfrac{1}{3}$ khi $x-y=0⇔x=y=±\dfrac{1}{\sqrt{3}}$