cho hai số tự nhiên a,b sao cho $a^2+b^2+ab$ chia hết cho 10 CMR : $a^2+b^2+ab$ chia hết cho 100 mong mọi người giúp đỡ

Gọi $a,b$ là các số tự nhiên mà $a^2+ab+b^2$ chia hết cho 10

Nhận xét: $a,b$ đều lẻ thì $a^2+ab+b^2$ lẻ không chia hết cho 10

$a$ chắn , $b$ lẻ thì $a^2+ab+b^2$ lẻ không chia hết cho 10. (tương tự với a lẻ, b chẵn)

$\Rightarrow$ a chẵn, b chẵn

$a = 10k \pm r,b = 10l \pm s$ với $k,l,r,s$ là các số tự nhiên và $r,s \in \left\{ {0;2;4} \right\}$

$\begin{array}{l} {a^2} + ab + {b^2} \vdots 10\\  = {\left( {10k \pm r} \right)^2} + {\left( {10l \pm s} \right)^2} + \left( {10k \pm r} \right)\left( {10l \pm s} \right) \vdots 10\\  = 100\left( {{k^2} + {l^2}} \right) + 20\left( { \pm kr \pm ls} \right) + \left( {{r^2} + {s^2}} \right) + 100kl + 10\left( {k \pm s + l \pm r} \right) \pm rs \vdots 10\\  = 100\left( {{k^2} + {l^2}} \right) + 20\left( { \pm kr \pm ls} \right) + 100kl + \left( {{r^2} + {s^2} \pm rs} \right)\left( {{r^2},{s^2} \in \left\{ {0;4;16} \right\}} \right) \vdots 10\\  \Rightarrow {r^2} + {s^2} \pm rs \vdots 10\\  \Rightarrow r = s = 0 \end{array}$

Vậy $a,b$ chia hết cho 10

Từ đó

$\begin{array}{l} {a^2} + {b^2} + ab = {\left( {10k} \right)^2} + {\left( {10l} \right)^2} + \left( {10l.10k} \right)\\  = 100{k^2} + 100{l^2} + 100lk \vdots 100 \end{array}$