Cho hàm số $\frac{-x+1}{2x+4}$ Khảo sát sự biến thiên của hàm số

Đáp án:

Hàm số nghịch biến trên $(-\infty;-2)$ và $(-2;+\infty)$

Giải thích các bước giải:

$y = \dfrac{-x + 1}{2x + 4}$

$TXD: D = \Bbb R \backslash\left\{-2\right\}$

$y’ = \dfrac{-6}{(2x +4)^2} < 0, \, \forall x \in D$

$\Rightarrow$ hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

Hay hàm số nghịch biến trên $(-\infty;-2)$ và $(-2;+\infty)$

___________________________________________

Xét $\dfrac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1}$

$= \dfrac{\dfrac{-x_2+ 1}{2x_2 + 4} – \dfrac{-x_1 + 1}{2x_1 + 4}}{x_2 -x_1}$

$= \dfrac{(-x_2+1)(x_1 + 2) – (-x_1+1)(x_2 +2)}{4(x_2 +2)(x_1+2)(x_2 – x_1)}$

$= \dfrac{-3}{4(x_2 +2)(x_1+2)}$

Với $x_1, x_2 \in (-\infty;-2) \quad (x_1 \ne x_2)$ ta được:

$\begin{cases}x_1 + 2 < 0\\x_2 + 2 <0\end{cases}$

$\to 4(x_2 +2)(x_1+2) > 0$

$\to \dfrac{-3}{4(x_2 +2)(x_1+2)} < 0$

Hay $\dfrac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1} < 0$

$\Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên $(-\infty;-2)$

Với $x_1, x_2 \in (-2;+\infty) \quad (x_1 \ne x_2)$ ta được:

$\begin{cases}x_1 + 2 > 0\\x_2 + 2 >0\end{cases}$

$\to 4(x_2 +2)(x_1+2) > 0$

$\to \dfrac{-3}{4(x_2 +2)(x_1+2)} < 0$

Hay $\dfrac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1} < 0$

$\Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên $(-2;+\infty)$