Cho hàm số: y=1/3X^3+(m-1)X^2+(2m-3)X-2/3 Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên (1;Dương vô cùng) 29/08/2021 Bởi Ximena Cho hàm số: y=1/3X^3+(m-1)X^2+(2m-3)X-2/3 Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên (1;Dương vô cùng)
$y = \dfrac{1}{3}x^3 + (m -1)x^2 + (2m – 3)x – \dfrac{2}{3}$ $TXĐ: D = R$ $y’ = x^2 + 2(m – 1)x + 2m – 3$ Hàm sô đồng biến trên $(1;+\infty)$ $\Leftrightarrow y’\geq 0, \forall x \in(1;+\infty)$ $\Leftrightarrow x^2 + 2(m – 1)x + 2m – 3 \geq 0, \forall x \in(1;+\infty)$ $\Leftrightarrow m \geq \dfrac{-x^2 + 2x + 3}{2(x + 1)}, \forall x \in(1;+\infty)$ $(*)$ Đặt $g(x) = \dfrac{-x^2 + 2x + 3}{2(x + 1)}$ Xét $g(x)$ trên $(1;+\infty)$ Ta có: $g'(x) = -\dfrac{1}{2}$ Bảng biến thiên $g(x)$: $\begin{array}{|l|cr|}\hlinex & -\infty & && 1 & & & & & +\infty&&\\\hlineg'(x)&&-&|&&&&-&&&&\\\hline &&&|&1&&&&\\g(x) && &|&&&&\searrow& && & \\ & &&|&&&&\\\hline\end{array}$ Vậy $(*) \Leftrightarrow m \geq 1$ Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$y = \dfrac{1}{3}x^3 + (m -1)x^2 + (2m – 3)x – \dfrac{2}{3}$
$TXĐ: D = R$
$y’ = x^2 + 2(m – 1)x + 2m – 3$
Hàm sô đồng biến trên $(1;+\infty)$
$\Leftrightarrow y’\geq 0, \forall x \in(1;+\infty)$
$\Leftrightarrow x^2 + 2(m – 1)x + 2m – 3 \geq 0, \forall x \in(1;+\infty)$
$\Leftrightarrow m \geq \dfrac{-x^2 + 2x + 3}{2(x + 1)}, \forall x \in(1;+\infty)$ $(*)$
Đặt $g(x) = \dfrac{-x^2 + 2x + 3}{2(x + 1)}$
Xét $g(x)$ trên $(1;+\infty)$
Ta có: $g'(x) = -\dfrac{1}{2}$
Bảng biến thiên $g(x)$:
$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -\infty & && 1 & & & & & +\infty&&\\
\hline
g'(x)&&-&|&&&&-&&&&\\
\hline
&&&|&1&&&&\\
g(x) && &|&&&&\searrow& && & \\
& &&|&&&&\\
\hline
\end{array}$
Vậy $(*) \Leftrightarrow m \geq 1$