Cho hàm số `y=-1/3mx^3+(m-1)x^2-mx+3`. Xác định m để a. y’ ≤ 0, ∀x∈ R b. y’=0 có hai nghiệm phân biệt cùng âm c. y’=0 có hai nghiệm phân biệt thỏa

Đáp án:

c. \(\left[ \begin{array}{l}
m =  – 4 + 2\sqrt 5 \\
m =  – 4 – 2\sqrt 5 
\end{array} \right.\)

Giải thích các bước giải:

\(\begin{array}{l}
y’ =  – m{x^2} + 2\left( {m – 1} \right)x – m\\
a.y’ \le 0\forall x \in R\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 – m < 0\\
{m^2} – 2m + 1 – {m^2} \le 0
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
m \ge \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
KL:m \ge \frac{1}{2}\\
b.\left\{ \begin{array}{l}
{m^2} – 2m + 1 – {m^2} > 0\\
\frac{{2m – 2}}{m} < 0\\
1 > 0\left( {ld} \right)
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
m < \frac{1}{2}\\
m \in \left( {0;1} \right)
\end{array} \right.\\
KL:m \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\\
c.\left\{ \begin{array}{l}
m < \frac{1}{2}\\
{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} = 3
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
m < \frac{1}{2}\\
{\left( {\frac{{2m – 2}}{m}} \right)^2} – 2.1 = 3
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
m < \frac{1}{2}\\
4{m^2} – 8m + 4 – 5{m^2} = 0
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
m < \frac{1}{2}\\
 – {m^2} – 8m + 4 = 0
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
m < \frac{1}{2}\\
\left[ \begin{array}{l}
m =  – 4 + 2\sqrt 5 \\
m =  – 4 – 2\sqrt 5 
\end{array} \right.\left( {TM} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)