cho hàm số y=x^2-2(m+1)x-3. chứng minh hàm số luôn cắt trục hoành tại 2 điểm A, B phân biệt. tìm m để AB nhỏ nhất

0 bình luận về “cho hàm số y=x^2-2(m+1)x-3. chứng minh hàm số luôn cắt trục hoành tại 2 điểm A, B phân biệt. tìm m để AB nhỏ nhất”

1. Đáp án:

   m = -1 

   Giải thích các bước giải:

   Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là nghiệm của phương trình: 

   ${x^2} – 2(m + 1)x – 3 = 0$

   Ta có: $\Delta ‘ = {(m + 1)^2} + 3 > 0\forall m$

   Khi đó, đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt A, B.

   Gọi  $A({x_1},{y_1});B({x_2},{y_2})$ là giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành

   Ta có: $AB = \left| {{x_1} – {x_2}} \right|$

   Suy ra: $A{B^2} = {({x_1} – {x_2})^2} = {({x_1} + {x_2})^2} – 4{x_1}{x_2}$ (1)

   Hệ thức Vi-et: $\left\{ {\matrix{
      {{x_1} + {x_2} = 2(m + 1)}  \cr 
      {{x_1}{x_2} =  – 3}  \cr 

    } } \right.$

   Thay vào (1) ta được: 

   $A{B^2} = 4{(m + 1)^2} – 4( – 3) = 4{(m + 1)^2} + 12 \ge 12$

   (Do ${(m + 1)^2} \ge 0\forall m$)

   $ \Leftrightarrow AB \ge 2\sqrt 3 $

   Dấu bằng xảy ra khi m = -1.

   Bình luận