Cho hàm số: `y=2x³ -3(3m -1)x² +6(2m² -m)x +3`. Tìm tổng các giá trị của m để HSNB trên đoạn có độ dài `=4`.
Cho hàm số: `y=2x³ -3(3m -1)x² +6(2m² -m)x +3`. Tìm tổng các giá trị của m để HSNB trên đoạn có độ dài `=4`.
By Ayla
Phụ huynh gặp khó khăn cân bằng công việc và dạy con chương trình mới. Hãy để dịch vụ gia sư của chúng tôi giúp bạn giảm bớt áp lực, cung cấp kiến thức chuyên sâu và hỗ trợ con bạn học tập hiệu quả.
Đáp án:
$\sum m = 2$
Giải thích các bước giải:
$\quad y = 2x^3 – 3(3m-1)x^2 + 6(2m^2 – m)x + 3$
$\to y’ = 6x^2 – 6(3m-1)x + 6(2m^2 – m)$
Hàm số có khoảng nghịch biến
$\Leftrightarrow \Delta_{y’}’ > 0$
$\Leftrightarrow 9(3m-1)^2 – 36(2m^2 – m) >0$
$\Leftrightarrow (m-1)^2 >0$
$\Leftrightarrow m\ne 1$
Với $x_1; x_2$ là hai điểm cực trị của hàm số
$\Rightarrow x_1;\ x_2$ là nghiệm của phương trình $y’ = 0$
Áp dụng định lý Viète ta được:
$\begin{cases}x_1 + x_2 = 3m – 1\\x_1x_2 = 2m^2 – m\end{cases}$
Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng $4$
$\Leftrightarrow |x_1 – x_2| = 4$
$\Rightarrow (x_1 – x_2)^2 = 16$
$\Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 – 4x_1x_2 = 16$
$\Leftrightarrow (3m-1)^2 – 4(2m^2 – m) = 16$
$\Leftrightarrow (m-1)^2 = 16$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m – 1 = 4\\m – 1 = -4\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = 5\\m = -3\end{array}\right.$ (nhận)
$\Rightarrow \sum m = 2$
Đáp án:
`2`
`text()`
Giải thích các bước giải:
`+` Ta có: `y ′ = 6 x ^2 − 6 ( 3 m − 1 ) x + 6 ( 2 m ^2 − m ) .`
`y ′ = 0 ⇔ y ′ = x^ 2 − ( 3 m − 1 ) x + ( 2 m^2−m)=0 .`
`+` Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng `4`
`⇒y′≤0∀x∈[x_1;x_2]⇒y′≤0∀x∈[x_1;x_2]` thỏa mãn `|x_1−x_2|=4`
`⇔` $\begin{cases} Δ = ( 3 m − 1 ) ^2 − 4 ( 2 m ^2 − m ) > 0\\(x_1+x_2)^2−4x_1x_2=16\end{cases}$`(I)`
`+` Theo định lí Vi-ét ta có `:` $\begin{cases} x_1+x_2=3m-1\\x_1x_2=2m^2-m\end{cases}$
`(I)⇔` $\begin{cases} 9 m^ 2 − 6 m + 1 − 8 m ^2 + 4 m > 0\\( 3 m − 1 )^ 2 − 4 ( 2 m ^2 − m ) = 16\end{cases}$
`⇔` $\begin{cases} m ^2 − 2m + 1 > 0\\m ^2 − 2m + 1 = 16\end{cases}$`⇔ m^ 2 − 2 m − 15 = 0`
`⇔` \(\left[ \begin{array}{l}m_1=5\\m_2=-3\end{array} \right.\)
`⇒` Tổng các giá trị của `m` để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng `4` là `:`
`m_1+m_2=5+(-3)=2`
Vậy tổng các giá trị của `m` để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng `4` là `:` `2`