cho hàm số y=x^3+ax^2+bx+c,c<0 có đồ thị C cắt Oy tại A và có hai điểm chung với Ox là M,N. Tìm a,b,c

0 bình luận về “cho hàm số y=x^3+ax^2+bx+c,c<0 có đồ thị C cắt Oy tại A và có hai điểm chung với Ox là M,N. Tìm a,b,c”

1. Đáp án:Cho hàm số: $y=x^3+ax^2+bx+c (c<0)$ có đồ thị $(C)$ biết :
   $(C)$ cắt $Oy$ tại $A$ và có đúng $2$ điểm chung với $Ox$ là $M, N$. Tiếp tuyến tại $M$ đi qua $A$.
   Tìm $a,b,c$ để diện tích tam giác $AMN$ bằng $1$.
   Bài làm:
   Đây là một bài toán khó, hay nữa.
   Giả sử (C) cắt Ox tại M(m; 0) và N(n, 0), cắt Oy tại A(0; c)
   Tiếp tuyến tại A có phương trình:
   $$y=(3m^2+2am+b) (x-m).$$
   Tiếp tuyến đi qua A nên $$3m^3+2am^2+bm+c=0.$$
   Mà theo bài M thuộc (C):
   $$m^3+am^2+bm+c=0.$$
   Do đó ta có $$2m^3+am^2=0.$$
   $$\Leftrightarrow m=-\dfrac{a}{2}.$$
   Mà (C) cắt Ox tại 2 điểm nên (C) tiếp xúc với Ox tại N nên:
   $$y=x^3+ax^2+bx+c=(x-n)^2 (x-m).$$
   $$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
   m+2n=-a & \\
   2mn+n^2=b & \\
   mn^2=c &
   \end{matrix}\right.$$
   $$\Leftrightarrow m=-\dfrac{a}{2}; n=-\dfrac{a}{4}; a^3=32c; 5a^2=16b.$$
   Mặt khác $$S_{AMN}=1 \Leftrightarrow -c|m-n|=2 \Leftrightarrow -c.|a|=8.$$
   a> 0, ta có hệ $$\left\{\begin{matrix}
   a^3=32c & \\
   ac=-8 & \\
   5a^2=16b &
   \end{matrix}\right.$$
   Hệ vô nghiệm.

   a<0,ta có hệ:
   $\left\{\begin{matrix}
   a^3=32c & \\
   ac=8 & \\
   5a^2=16b &
   \end{matrix}\right.$
   Hệ có nghiệm a=-4; b=5; c=-2

   Giải thích các bước giải:

    

   Bình luận