Cho hàm số y=x^3 có đồ thị (C) gọi A,B là hai điểm thuộc C sao cho các tiếp tuyến của (C) tại A,B lần lượt cắt trục tung tại hai điểm M,N thảo mãn tứ giác AMBN là hình chữ nhật . Diện tích hình chữ nhật đó là
Cho hàm số y=x^3 có đồ thị (C) gọi A,B là hai điểm thuộc C sao cho các tiếp tuyến của (C) tại A,B lần lượt cắt trục tung tại hai điểm M,N thảo mãn tứ giác AMBN là hình chữ nhật . Diện tích hình chữ nhật đó là
Gọi tọa độ $A(a, a^3)$ và $B(b,b^3)$. Khi đó, các tiếp tuyến của C tại A và B lần lượt là
$T_a: y = 3a^2(x-a) + a^3 = 3a^2x – 2a^3$
và
$T_b: y = 3b^2(x-b) + b^3= 3b^2x- 2b^3$
Khi đó, do hai điểm M, N thuộc trục tung nên hoành độ của chúng bằng 0. Do đó, tọa độ hai điểm này là $M(0, -2a^3)$ và $N(0, -2b^3)$.
Khi đó, để tứ giác AMBN là hình chữ nhật thì tứ giác này là hình bình hành và có 1 góc vuông, tức là $\vec{AM} = \vec{NB}$ và $AM \perp MB$ tức là $\vec{AM} . \vec{MB} = \vec{0}$.
Ta có
$\vec{AM} = (-a, -3a^3), \vec{NB} = (b, 3b^3), \vec{MB} = (b, b^3 – 2a^3)$
Vậy ta có hệ
$\begin{cases}
-a = b\\
-3a^3 = 3b^3\\
-ab -3a^3(b^3 – 2a^3) = 0
\end{cases}$
Ptrinh vô nghiệm. Vậy ko có gtri nào thỏa mãn.