cho hàm số y=((3m+1)x-m^2+m)/(x+m)với giá trị nào của m thì tại giao điểm đồ thị với trục hoành, tiếp tuyến của đồ thị sẽ song song với đường thẳng x-

Đáp án:

Giải thích các bước giải: Điều kiện $x\neq – m$

$ (C_{m}): y = \frac{(3m + 1)x – m² + m}{x + m} (1)$ 

Hoành độ giao điểm $A(x_{1}; 0)$ của $(C)$ với trục hoành là nghiệm của $PT : y = 0$

$⇔(3m + 1)x_{1} – m² + m = 0 (2) ⇔ x_{1} = \frac{m² – m}{3m + 1} (m \neq – \frac{1}{3}) ⇒ x_{1} + m = \frac{m² – m}{3m + 1} + m = \frac{4m²}{3m + 1}(3)$

Đạo hàm cấp 1 :

$y’ = \frac{(3m + 1)(x + m) – [(3m + 1)x – m² + m]}{(x + m)²} $

Thay (2) và (3) vào có hệ số góc của tiếp tuyến tại $A(x_{1}; 0)$ là :

$y'( x_{1}) = \frac{(3m + 1)(x_{1} + m) – [(3m + 1)x_{1} – m² + m]}{(x_{1}+ m)²} = \frac{(3m + 1)}{x_{1} + m} = (\frac{3m + 1}{2m})²$

Để tiếp tuyến song với $(d) : x – y – 10 = 0 ⇔ y = x – 10$ có hệ số góc = 1 thì:

$y'( x_{1}) = 1⇔ (\frac{3m + 1}{2m})² = 1 ⇔\frac{3m + 1}{2m} = ± 1 ⇔ 3m + 1 = ± 2m$

$ ⇒ m = – 1; m = – \frac{1}{5}$