Cho hàm số y=f(x) xác định với mọi x thuộc R. Biết rằng với mọi x ta có: f(x)+3.f(1/x)=x^2. Tính f(2)

Đáp án:

\(f\left( 2 \right) =  – \dfrac{{13}}{{16}}\)

Giải thích các bước giải:

Xét hàm số f(x) thỏa mãn \(f\left( x \right) + 3f\left( {\dfrac{1}{x}} \right) = {x^2}\) với mọi x thuộc R

Với x=2

\(\begin{array}{l}
 \to f\left( 2 \right) + 3f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = {2^2}\\
 \to f\left( 2 \right) + 3f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = 4(1)
\end{array}\)

Với \(x = \dfrac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l}
 \to f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) + 3f\left( 2 \right) = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2}\\
 \to f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) + 3f\left( 2 \right) = \dfrac{1}{4}
\end{array}\)

\( \to 3f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) + 9f\left( 2 \right) = \dfrac{3}{4}\left( 2 \right)\)

Lấy (2) trừ (1) ta được

\(\begin{array}{l}
3f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) + 9f\left( 2 \right) – f\left( 2 \right) – 3f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{3}{4} – 4\\
 \to 8f\left( 2 \right) = \dfrac{{ – 13}}{4}\\
 \to f\left( 2 \right) =  – \dfrac{{13}}{{16}}
\end{array}\)