cho hàm số y=f(x) liên tục và có đạo hàm trên R thỏa mãn [f'(x)]^2+f(x)*f”(x)=2x+2, tính f(3) biết f(1)=0

Đáp án:

 $\frac{8\sqrt{3}}{3}$

Giải thích các bước giải:
$\int\limits^{}_{} {f”(x)*f(x) + f'(x)^2} \, dx = f'(x)*f(x) + C_1 \\$ 
Từ đề ta có : $f'(x)*f(x) = x^2 + 2x + C \\
  f(1) = 0 \\
  C = -3 \\
  => f'(x)*f(x) = x^2 + 2x – 3 \\
  =>  2f'(x)f(x) = 2x^2 + 4x – 6 \\
 f(x)^2 = \frac{2x^3}{3} + 2x^2 -6x + D \\
 f(1) = 0 \\
  => D = \frac{10}{3} \\
f(3)^2 = \frac{64}{3} \\
=> f(3) =  \frac{8\sqrt{3}}{3}
$