cho hàm số y = (m-2)x^2 +4x +3 tìm m để hàm số trên cắt đường thẳng y = x -1 tại 2 điểm phân biệt A B sao cho góc AOB = 60 độ
Làm ơn giúp tớ với
cho hàm số y = (m-2)x^2 +4x +3 tìm m để hàm số trên cắt đường thẳng y = x -1 tại 2 điểm phân biệt A B sao cho góc AOB = 60 độ
Làm ơn giúp tớ với
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
{ y = (m – 2)x² + 4x + 3(P)
{ y = x – 1 (d)
PTHĐGĐ của (P) và (d) là : (m – 2)x² + 4x + 3 = x – 1 ⇔ (m – 2)x² + 3x + 4 = 0 (*)
Để (P) cắt (d) tại 2 điểm pb A(x1; y1); B(x2; y2) thì PT (*) phải có 2 nghiệm pb
m – 2 # 0 ⇔ m # 2
Δ = 9 – 4.4.(m – 2) = 41 – 16m > 0 ⇔ m < 41/16
Gộp lại điều kiện là : m < 2 và 2 < m < 41/16 (**)
Áp dụng định lý hàm số cosin cho ΔAOB :
AB² = OA² + OB² – 2.OA.OB.cos(AOB) (***)
Với:
AB² = (x2 – x1)² + (y2 – y1)²
OA² = x1² + y1² ⇔ OA = √(x1² + y1²)
OB² = x2² + y2² ⇔ OB = √(x2² + y2²)
cos(AOB) = cos60o = 1/2
Thay tất cả vào (***) khai triển và giản ước 2 vế ta có :
2(x1x2 + y1y2) = √(x1² + y1²).√(x2² + y2²)
⇒ 4(x1x2 + y1y2)² = (x1² + y1²).(x2² + y2²)
⇔ 4(x1x2 + y1y2)² = (x1x2)² + (y1y2)² + (x1y2)² + (x2y1)²
⇔ 3(x1x2 + y1y2)² = (x1y2 – x2y1)² (****)
Đặt t = 1/(m – 2) ta có:
{ x1 + x2 = – 3/(m – 2) = – 3t
{ x1x2 = 4/(m – 2) = 4t
Tính :
x1x2 + y1y2 = x1x2 + (x1 – 1)(x2 – 1) = 2x1x2 – (x1 + x2) + 1 = 11t + 1 (1)
(x1y2 – x2y1)² = [x1(x2 – 1) – x2(x1 – 1)]² = (x2 – x1)² = (x1 + x2)² – 4x1x2 = (-3t)² – 4.4t = 9t² – 16t (2)
Thay (1); (2) vào (****) ta có : 3(11t + 1)² = 9t² – 16t ⇔ 354t² + 82t + 3 = 0
Giải ra : t = (- 41 ± √619)/354 ⇔ m – 2 = 354/(- 41 ± √619) ⇔ m = 2 + 354/(- 41 ± √619)
Bạn chịu khó kiểm tra lại các phép tính và điều kiện (**)