Cho hàm số: y = (m – 2)x + 4 (d) (với m là tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất. Vẽ hình nữa

0 bình luận về “Cho hàm số: y = (m – 2)x + 4 (d) (với m là tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất. Vẽ hình nữa”

1. Đáp án:

   $m = 2$

   Giải thích các bước giải:

   $(d): y = (m-2)x + 4$

   $+)\quad (d)$ cắt $Ox$ tại $A\left(\dfrac{4}{2-m};0\right)$

   $\to OA = \left|\dfrac{4}{2-m}\right|$

   $+)\quad (d)$ cắt $Oy$ tại $B(0;4)$

   $\to OB = 4$

   Từ $O$ kẻ $OH\perp (d)\quad (H\in (d))$

   $\to OH$ là khoảng cách từ $O$ đến $(d)$

   Áp dụng hệ thức lượng vào $∆OAB$ vuông tại $O$ đường cao $OH$ ta được:

   $\dfrac{1}{OH^2} =\dfrac{1}{OA^2} +\dfrac{1}{OB^2}$

   $\to OH^2 =\dfrac{OA^2.OB^2}{OA^2 + OB^2}$

   $\to OH^2 =\dfrac{16\cdot\left(\dfrac{4}{2-m}\right)^2}{16+\left(\dfrac{4}{2-m}\right)^2}$

   $\to OH^2 =\dfrac{16}{(2-m)^2}\cdot\dfrac{1}{1 +\dfrac{1}{(2-m)^2}}$

   $\to OH^2 =\dfrac{16}{(2-m)^2}\cdot\dfrac{(2-m)^2}{(2-m)^2 +1}$

   $\to OH^2 = \dfrac{16}{(2-m)^2 + 1}$

   $\to OH^2 \leq \dfrac{16}{0^2 + 1} = 16$

   $\to OH \leq 4$

   Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow 2-m = 0\Leftrightarrow m = 2$

   Vậy $\max OH = 4 \Leftrightarrow m = 2$

   Trả lời

2. $(d):y=(m-2)x+4$

   Gọi $A=(d)∩Ox$

   $⇒A(\dfrac{4}{2-m};0)$

   $⇒OA=|\dfrac{4}{2-m}|

   Gọi $B=(d)∩Oy$

   $⇒B(0;4)$

   $⇒OB=4$

   Gọi $OH$ là khoảng cách từ $O$ đến $(d)$

   $⇒OH⊥(d)$

   Xét $ΔAOB$ vuông tại $O$ có $OH$ là đường cao, ta có:

   $\dfrac{1}{OH^{2}}=\dfrac{1}{OA^{2}}+\dfrac{1}{OB^{2}}$

   $⇒OH=\dfrac{OA.OB}{\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}}$

   $=\dfrac{|\dfrac{4}{2-m}|.4}{\sqrt{\dfrac{16}{(2-m)^{2}}+16}}$

   $=\dfrac{\dfrac{16}{|2-m|}}{\dfrac{\sqrt{16+16.(2-m)^{2}}}{|2-m|}}$

   $=\dfrac{16}{\sqrt{16+16.(2-m)^{2}}}$

   Để $OH_{Max}$ thì $\sqrt{16+16.(2-m)^{2}}_{Min}$

   $⇒16.(2-m)^{2}_{Min}$

   $⇒16.(2-m)^{2}=0$

   $⇒OH_{Max}=\dfrac{16}{\sqrt{16}}=4$

   Dấu $=$ xảy ra khi $m=2$

   Trả lời