cho hàm y=2x+1/x+1 có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng y=-2x+m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tám giác OAB có S bằng √3

0 bình luận về “cho hàm y=2x+1/x+1 có đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng y=-2x+m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tám giác OAB có S bằng √3”

1. Đáp án:

   \[m =  \pm 2\]

   Giải thích các bước giải:

    Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d là:

   \(\begin{array}{l}
   \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} =  – 2x + m\\
    \Leftrightarrow 2x + 1 = \left( { – 2x + m} \right)\left( {x + 1} \right)\\
    \Leftrightarrow 2x + 1 =  – 2{x^2} – 2x + mx + m\\
    \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {4 – m} \right)x + 1 – m = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)
   \end{array}\)

   d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. Suy ra:

   \(\begin{array}{l}
   Δ> 0\\
    \Leftrightarrow {\left( {4 – m} \right)^2} – 8\left( {1 – m} \right) > 0\\
    \Leftrightarrow 16 – 8m + {m^2} – 8 + 8m > 0\\
    \Leftrightarrow 8 + {m^2} > 0,\,\,\,\forall m
   \end{array}\)

   Khi đó, phương trình (1) có 2 nghiệm thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}
   {x_1} + {x_2} = \frac{{m – 4}}{2}\\
   {x_1}.{x_2} = \frac{{1 – m}}{2}
   \end{array} \right.\)

   Ta có:

   \(\begin{array}{l}
   A\left( {{x_1};\,\, – 2{x_1} + m} \right);\,\,\,B\left( {{x_2};\,\, – 2{x_2} + m} \right)\\
   {d_{\left( {O,AB} \right)}} = {d_{\left( {O,d} \right)}} = \frac{{\left| {2.0 + 0 – m} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{{\left| m \right|}}{{\sqrt 5 }}\\
   \overrightarrow {AB} \left( {{x_2} – {x_1};\,\, – 2{x_2} + 2{x_1}} \right)\\
    \Rightarrow AB = \sqrt {5{{\left( {{x_1} – {x_2}} \right)}^2}} \\
   {S_{OAB}} = \frac{1}{2}{d_{\left( {O,AB} \right)}}.AB\\
    \Leftrightarrow \sqrt 3  = \frac{1}{2}.\frac{{\left| m \right|}}{{\sqrt 5 }}.\sqrt {5.\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} – 4{x_1}{x_2}} \right]} \\
    \Leftrightarrow \sqrt 3  = \frac{{\left| m \right|}}{2}.\sqrt {{{\left( {\frac{{m – 4}}{2}} \right)}^2} – 4.\frac{{1 – m}}{2}} \\
    \Leftrightarrow 2\sqrt 3  = \left| m \right|.\sqrt {\frac{{{m^2} + 8}}{4}} \\
    \Leftrightarrow 4\sqrt 3  = \left| m \right|\sqrt {{m^2} + 8} \\
    \Leftrightarrow 48 = {m^4} + 8{m^2}\\
    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
   {m^2} = 4\\
   {m^2} =  – 12
   \end{array} \right. \Rightarrow m =  \pm 2
   \end{array}\)

   Bình luận