cho hbh tâm I(3;5) và 2 cạnh nằm trên 2 đt: x+3y-6=0; 2x-5y-1=0 a. viết pt các cạnh còn lại của hbh b. tìm tọa độ các đỉnh của hbh c. viết pt các đườn

a) Viết phương trình các cạnh còn lại của hình bình hành.

\(I\left( {3;\,\,5} \right).\)

Giả sử hình bình hành có cạnh \(\left\{ \begin{array}{l}AB:\,\,\,x + 3y – 6 = 0\\AD:\,\,2x – 5y – 1 = 0\end{array} \right..\)

Khi đó ta có tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y – 6 = 0\\2x – 5y – 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {3;\,\,1} \right).\)

Ta có: \(I\left( {3;\,\,5} \right)\) là tâm của hình bình hành

\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow C\left( {3;\,\,9} \right).\)

Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}BC//AD \Rightarrow BC:\,\,\,2x – 5y + a = 0\,\,\,\left( {a \ne  – 1} \right)\\DC//AB \Rightarrow DC:\,\,x + 3y + b = 0\,\,\,\left( {b \ne  – 6} \right)\end{array} \right.\)

Lại có:\(\left\{ \begin{array}{l}C \in BC\\C \in DC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.3 – 5.9 + a = 0\\3 + 3.9 + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 39\,\,\,\left( {tm} \right)\\b =  – 30\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)  

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BC:\,\,\,2x – 5y + 39 = 0\\DC:\,\,\,x + 3y – 30 = 0\end{array} \right..\)

b) Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành.

Ta có: tọa độ đỉnh \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x – 5y + 39 = 0\\x + 3y – 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  – \frac{{87}}{{11}}\\y = \frac{{51}}{{11}}\end{array} \right. \Rightarrow B\left( { – \frac{{87}}{{11}};\,\,\frac{{51}}{{11}}} \right)\)

Ta có: tọa độ đỉnh \(D\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x – 5y – 1 = 0\\x + 3y – 30 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{153}}{{11}}\\y = \frac{{59}}{{11}}\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {\frac{{153}}{{11}};\,\,\frac{{59}}{{11}}} \right)\)

c) Viết các phương trình đường chéo của hình bình hành.

Gọi phương trình đường chéo \(AC:\,\,y = {a_1}x + {b_1}.\)

Đường chéo \(AC\) đi qua \(A,\,\,C \Rightarrow x = 3.\)

Gọi phương trình đường chéo \(BD:\,\,y = {a_2}x + {b_2}.\)

Đường chéo \(BD\) đi qua \(B,\,\,I \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{51}}{{11}} =  – \frac{{87}}{{11}}{a_2} + {b_2}\\5 = 3{a_2} + {b_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_2} = \frac{1}{{30}}\\{b_2} = \frac{{49}}{{10}}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow BD:\,\,\,y = \frac{1}{{30}}x + \frac{{49}}{{10}}.\)