cho hệ phương trình 3x+y=2m+9 x+y=5. tìm m để hệ có nghiệp duy nhất sao cho A=xy+x+1 đạt GTLN

Xét hệ

$\begin{cases} 3x + y = 2m + 9\\ x + y = 5 \end{cases}$

Ta thấy rằng

$\dfrac{3}{1} \neq \dfrac{1}{1}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất với mọi $m$.

Lấy ptrinh đầu trừ ptrih sau ta có

$2x = 2m + 4$

$<-> x = m + 2$

Thế vào ptrinh sau ta suy ra

$y = 5 – (m+2) = 3 – m$

Vậy ta có nghiệm của hệ $(m+2, 3-m)$.

Khi đó, ta có

$A = (m+2)(3-m) + m + 2 + 1$

$= -m^2 +2m + 9$

$= -(m^2 – 2m + 1) + 10$

$= -(m-1)^2 + 10$

Ta có

$-(m-1)^2 \leq 0$ với mọi $m$

$<-> -(m-1)^2 + 10 \leq 10$ với mọi $m$

$<-> A \leq 10$ với mọi $m$.

Dấu “=” xảy ra khi $m – 1 = 0$ hay $m = 1$.

Vậy $m =1$ là giá trị thỏa mãn đề bài