cho hệ phương trình 3x+y=2m+9 x+y=5. tìm m để hệ có nghiệp duy nhất sao cho A=xy+x+1 đạt GTLN 16/11/2021 Bởi Alice cho hệ phương trình 3x+y=2m+9 x+y=5. tìm m để hệ có nghiệp duy nhất sao cho A=xy+x+1 đạt GTLN
Xét hệ $\begin{cases} 3x + y = 2m + 9\\ x + y = 5 \end{cases}$ Ta thấy rằng $\dfrac{3}{1} \neq \dfrac{1}{1}$ Vậy hệ có nghiệm duy nhất với mọi $m$. Lấy ptrinh đầu trừ ptrih sau ta có $2x = 2m + 4$ $<-> x = m + 2$ Thế vào ptrinh sau ta suy ra $y = 5 – (m+2) = 3 – m$ Vậy ta có nghiệm của hệ $(m+2, 3-m)$. Khi đó, ta có $A = (m+2)(3-m) + m + 2 + 1$ $= -m^2 +2m + 9$ $= -(m^2 – 2m + 1) + 10$ $= -(m-1)^2 + 10$ Ta có $-(m-1)^2 \leq 0$ với mọi $m$ $<-> -(m-1)^2 + 10 \leq 10$ với mọi $m$ $<-> A \leq 10$ với mọi $m$. Dấu “=” xảy ra khi $m – 1 = 0$ hay $m = 1$. Vậy $m =1$ là giá trị thỏa mãn đề bài Bình luận
$m=1$ nha !
Xét hệ
$\begin{cases} 3x + y = 2m + 9\\ x + y = 5 \end{cases}$
Ta thấy rằng
$\dfrac{3}{1} \neq \dfrac{1}{1}$
Vậy hệ có nghiệm duy nhất với mọi $m$.
Lấy ptrinh đầu trừ ptrih sau ta có
$2x = 2m + 4$
$<-> x = m + 2$
Thế vào ptrinh sau ta suy ra
$y = 5 – (m+2) = 3 – m$
Vậy ta có nghiệm của hệ $(m+2, 3-m)$.
Khi đó, ta có
$A = (m+2)(3-m) + m + 2 + 1$
$= -m^2 +2m + 9$
$= -(m^2 – 2m + 1) + 10$
$= -(m-1)^2 + 10$
Ta có
$-(m-1)^2 \leq 0$ với mọi $m$
$<-> -(m-1)^2 + 10 \leq 10$ với mọi $m$
$<-> A \leq 10$ với mọi $m$.
Dấu “=” xảy ra khi $m – 1 = 0$ hay $m = 1$.
Vậy $m =1$ là giá trị thỏa mãn đề bài