Cho hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+x-3y-2+\sqrt{x}-\sqrt{y+1}=0\, \\ \sqrt{2y-x}+\sqrt{x+1}=3\, \end{array} \right. $ có nghiệm duy nhất $ ({{x}_{o}};{{y}_{o}}) $ . Tính $ x_{o}^{2}+y_{o}^{2} $ .
Cho hệ phương trình $ \left\{ \begin{array}{l} {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+x-3y-2+\sqrt{x}-\sqrt{y+1}=0\, \\ \sqrt{2y-x}+\sqrt{x+1}=3\, \end{array} \right. $ có nghiệm duy nhất $ ({{x}_{o}};{{y}_{o}}) $ . Tính $ x_{o}^{2}+y_{o}^{2} $ .
Đáp án:
`13`
Giải thích các bước giải:
Điều kiện: $ \left\{ \begin{array}{l} x\ge 0 \\ y\ge -1 \\ 2y-x\ge 0 \end{array} \right. $ (*)
$ \left\{ \begin{array}{l} {{x}^{2}}-{{y}^{2}}+x-3y-2+\sqrt{x}-\sqrt{y+1}=0\,\,\,(1) \\ \sqrt{2y-x}+\sqrt{x+1}=3\,\,(2) \end{array} \right. $
$ (1)\Leftrightarrow ({{x}^{2}}-xy-x)+(xy-{{y}^{2}}-y)+2(x-y-1)+\left( \sqrt{x}-\sqrt{y+1} \right)=0 $
$ \Leftrightarrow x(x-y-1)+y(x-y-1)+2(x-y-1)+\dfrac{x-y-1}{\sqrt{x}+\sqrt{y+1}}=0 $
$ \Leftrightarrow (x-y-1)\left( x+y+2+\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y+1}} \right)=0\,\,\,(3) $
Do điều kiện (*) nên $ x+y+2+\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y+1}} > 0 $
Khi đó: $ (3)\Leftrightarrow x-y-1=0\Leftrightarrow y=x-1 $
Thế $ y=x-1 $ vào (2) ta được:
$ \begin{array}{l} \sqrt{2(x-1)-x}+\sqrt{x+1}=3 \\ \Leftrightarrow \sqrt{x-2}+\sqrt{x+1}=3 \\ \Leftrightarrow 2x-1+2\sqrt{(x-2)(x+1)}=9 \\ \Leftrightarrow \sqrt{(x-2)(x+1)}=5-x \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2\le x\le 5 \\ (x-2)(x+1)={{(5-x)}^{2}} \end{array} \right.\Leftrightarrow x=3 \end{array} $
Với $ x=3\Rightarrow \,\,y=2 $ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $ ({{x}_{o}};{{y}_{o}})=(3;2) $
Ta có: $ x_{o}^{2}+y_{o}^{2}={{3}^{2}}+{{2}^{2}}=13. $