Cho hệ phương trình $\left \{ {{x+(m-1)y=2} \atop {(m+1)x-y=m+1}} \right.$ Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) duy nhất thỏa mãn x-

0 bình luận về “Cho hệ phương trình $\left \{ {{x+(m-1)y=2} \atop {(m+1)x-y=m+1}} \right.$ Tìm giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) duy nhất thỏa mãn x-”

1. Đáp án: m= -1

    

   Giải thích các bước giải:

   Ta rút \(x\) thừ phương trình thứ nhất: x=2-(m-1)y.

   Thay x=2-(m-1)y vào phương trình thứ hai ta được: 

   \((m + 1)\left[ {2 – (m – 1)y} \right] – y = m + 1\)

   Từ đây rút ra \(y = \frac{{m + 1}}{{{m^2}}}\). Rồi lại thay \(y = \frac{{m + 1}}{{{m^2}}}\) vào

   x=2-(m-1)y ⇒ \(x = \frac{{{m^2} + 1}}{{{m^2}}}\).

   Xét x-2y = \(\frac{{{m^2} + 1}}{{{m^2}}} – 2\frac{{m + 1}}{{{m^2}}}\) = \(\frac{{{m^2} – 2m – 1}}{{{m^2}}}\).

   Phân tích thành: x-2y = \(\frac{{ – ({m^2} + 2m + 1) + 2{m^2}}}{{{m^2}}} = \frac{{ – {{(m + 1)}^2} + 2{m^2}}}{{{m^2}}} = \frac{{ – {{(m + 1)}^2}}}{{{m^2}}} + 2\).

   Ta nhận xét: mẫu \({m^2} > 0,\forall m \ne 0\) và \({ – {{(m + 1)}^2}}\) ≤ 0 với \(\forall m\)

   \( \Rightarrow \frac{{ – {{(m + 1)}^2}}}{{{m^2}}} \le 0,\forall m \ne 0\)

   \( \Rightarrow \frac{{ – {{(m + 1)}^2}}}{{{m^2}}} + 2 \le 2,\forall m \ne 0\)

   Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow m + 1 = 0 \Leftrightarrow m =  – 1\) (thỏa mãn \(m \ne 0\))

   Để x-2y đạt giá trị lớn nhất bằng 2 \( \Leftrightarrow m =  – 1\)

   Với m=-1 thay vào hệ phương trình đã cho ta được hệ phương trình sau:

   \(\left\{ \begin{array}{l}
   x – 2y = 2\\
    – y = 0
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   x = 2\\
   y = 0
   \end{array} \right. \Rightarrow \left( {x;y} \right) = (2;0)\)

   \( \Rightarrow \) nghiệm duy nhất của hệ \(\left( {x;y} \right) = (2;0)\)

   Vậy \(m =  – 1\) thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = (2;0)\) thỏa mãn x-2y đạt giá trị lớn nhất.

    

    

    

    

   Bình luận