cho hệ phương trình: $\left \{ {{x+my=1} \atop {mx+y=2m}} \right.$ Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x; y duy nhất thỏa mãn x ≥ 2; y ≥ 1

Đáp án + giải thích các bước giải:

$\left\{\begin{matrix} x+my=m+1(1)\\mx+y=2m(2) \end{matrix}\right.$

Từ `(1)->x=m+1-my(3)`

Thế `(3)` vào `(2)`, có:

`m(m+1-my)+y=2m`

`->m^2+m-m^2y+y=2m`

`->(-m^2+1)=m-m^2`

`->(m-1)(m+1)y=m(m-1)`

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình có nghiệm duy nhất, hay 

`(m-1)(m+1)\ne0`

`->m\ne ±1`

Khi đó phương trình có nghiệm duy nhất

`y=(m(m-1))/((m-1)(m+1))=m/(m+1)`

Khi đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất

`y=m/(m+1)`

`x=m+1-m. m/(m+1)=((m+1)^2-m^2)/(m+1)=(2m+1)/(m+1)`

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa `x>=2;y>=2` khi 

$\left\{\begin{matrix} m\ne 1;-1(4)\\\dfrac{2m+1}{m+1}\ge2(5)\\\dfrac{m}{m+1}\ge1(6) \end{matrix}\right.$

Từ `(5)->(2m+1)/(m+1)-2>=0`

`->(2m+1-2m-2)/(m+1)>=0`

`->-1/(m+1)>=0`

`->m+1<0`

`->m<-1`

Từ `(6)->m/(m+1)-1>=0`

`->(m-m-1)/(m+1)>=0`

`->-1/(m+1)>=0`

`->m+1<0`

`->m<-1`

Vậy với `m<-1` thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa `x>=2;y>=1`