Cho hệ phương trình: mx − y = 2m (m là tham số) ; 4x − my = m + 6
a) Giải hệ phương trình với m = 1
b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y ) thỏa mãn 6x – 2y = 13
d) Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) mà x; y có giá
trị là số nguyên
e) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y). Khi đó tìm một hệ thức liên hệ giữa
x; y không phụ thuộc vào m
Đáp án:
e) \(\dfrac{{4{x^2} – {y^2} – 14x – y + 12}}{{x – 2}} = 0\) là hệ thức liên hệ không phụ thuộc vào m
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
mx – y = 2m\\
4x – my = m + 6
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
{m^2}x – my = 2{m^2}\\
4x – my = m + 6
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
\left( {{m^2} – 4} \right)x = 2{m^2} – m – 6\\
y = mx – 2m
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{\left( {m – 2} \right)\left( {3m + 2} \right)}}{{\left( {m – 2} \right)\left( {m + 2} \right)}}\\
y = mx – 2m
\end{array} \right.\\
a)Thay:m = 1\\
Hpt \to \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{5}{3}\\
y = – \dfrac{1}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\)
b) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left( {m – 2} \right)\left( {m + 2} \right) \ne 0\\
\to m \ne \pm 2
\end{array}\)
Để phương trình có vô số nghiệm
\(\begin{array}{l}
\to m – 2 = 0\\
\to m = 2\\
Hpt \to \left\{ \begin{array}{l}
0x = 0\left( {ld} \right)\\
y = mx – 2m
\end{array} \right.
\end{array}\)
Để phương trình vô nghiệm
\(\begin{array}{l}
\to m + 2 = 0\\
\to m = – 2
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
c)\left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{\left( {m – 2} \right)\left( {3m + 2} \right)}}{{\left( {m – 2} \right)\left( {m + 2} \right)}}\\
y = mx – 2m
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{3m + 2}}{{m + 2}}\\
y = m.\dfrac{{3m + 2}}{{m + 2}} – 2m
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{3m + 2}}{{m + 2}}\\
y = \dfrac{{3{m^2} + 2m – 2{m^2} – 4m}}{{m + 2}}
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{3m + 2}}{{m + 2}}\\
y = \dfrac{{{m^2} – 2m}}{{m + 2}}
\end{array} \right.\\
DK:m \pm – 2\\
Do:6x – 2y = 13\\
\to 6.\dfrac{{3m + 2}}{{m + 2}} – 2.\dfrac{{{m^2} – 2m}}{{m + 2}} = 13\\
\to \dfrac{{18m + 12 – 2{m^2} + 4m – 12m – 26}}{{m + 2}} = 0\\
\to – 2{m^2} + 10m – 14 = 0\\
\to m \in \emptyset \\
e)\left\{ \begin{array}{l}
mx – y = 2m\\
4x – my = m + 6
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
mx – 2m = y\\
4x – my = m + 6
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
\left( {x – 2} \right)m = y\\
4x – my = m + 6
\end{array} \right.\\
\to \left\{ \begin{array}{l}
m = \dfrac{y}{{x – 2}}\left( {DK:x \ne 2} \right)\\
4x – \dfrac{y}{{x – 2}}.y = \dfrac{y}{{x – 2}} + 6\left( 1 \right)
\end{array} \right.\\
\left( 1 \right) \to \dfrac{{4{x^2} – 8x – {y^2} – y – 6x + 12}}{{x – 2}} = 0\\
\to \dfrac{{4{x^2} – {y^2} – 14x – y + 12}}{{x – 2}} = 0
\end{array}\)
⇒ \(\dfrac{{4{x^2} – {y^2} – 14x – y + 12}}{{x – 2}} = 0\) là hệ thức liên hệ không phụ thuộc vào m