cho hệ phương trình mx+y=7 và 2x-y=-4. Gọi (x;y) là nghiệm của hệ phương trình(I) , xác định giá trị m để P =x^2+y^2 đạt GTNN. Tìm GTNN đó

Đáp án:

 \(m=\frac{-11}{4}\)

Giải thích các bước giải:

\(P=x^{2}+y^{2}=(x-y)^{2}+2xy\)
Ta thấy: \((x-y)^{2} \geq 0\) với mọi x,y thuột R
Nên P đạt GTNN=2xy khi \((x-y)^{2}=0 \leftrightarrow x=y\)

\(\left\{\begin{matrix} mx+y=7
 &  & \\ 2x-y=-4
 &  & 
\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} y=7-mx
 &  & \\ 2x-(7-mx)=-4
 &  & 
\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix} y=7-mx
 &  & \\ x=\frac{3}{2+m}
 &  & 
\end{matrix}\right.\)

\(x=y \leftrightarrow 7-mx=\frac{3}{2+m} \leftrightarrow 7-m(\frac{3}{2+m})=\frac{3}{2+m} \leftrightarrow \frac{7(2+m)-3m}{2+m}=\frac{3}{2+m}\) (*)

ĐK: \(2+m \neq 0 \leftrightarrow m \neq -2\)

(*) \(\leftrightarrow 14+7m-3m=3 \leftrightarrow m=\frac{-11}{4}\)