Vậy với \(m \ne \pm 1\) thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{{m + 2}}{{m + 1}};\,\,\frac{1}{{m + 1}}} \right).\)
Hệ phương trình có nghiệm nguyên \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z}\\y \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}\frac{{m + 2}}{{m + 1}} \in \mathbb{Z}\\\frac{1}{{m + 1}} \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)
Đáp án:
\(m \in \left\{ { – 2;\,\,0} \right\}\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + my = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\mx + y = m + 1\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\\\left( 1 \right) \Rightarrow x = 2 – my\\ \Rightarrow \left( 2 \right) \Leftrightarrow m\left( {2 – my} \right) + y = m + 1\\ \Leftrightarrow 2m – {m^2}y + y = m + 1\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} – 1} \right)y = m – 1\\ \Leftrightarrow \left( {m – 1} \right)\left( {m + 1} \right)y = m – 1\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có nghiệm duy nhất
\( \Leftrightarrow {m^2} – 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow y = \frac{{m – 1}}{{\left( {m – 1} \right)\left( {m + 1} \right)}} = \frac{1}{{m + 1}}\\ \Rightarrow x = 2 – my = 2 – \frac{m}{{m + 1}} = \frac{{2m + 2 – m}}{{m + 1}} = \frac{{m + 2}}{{m + 1}}.\end{array}\)
Vậy với \(m \ne \pm 1\) thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {\frac{{m + 2}}{{m + 1}};\,\,\frac{1}{{m + 1}}} \right).\)
Hệ phương trình có nghiệm nguyên \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z}\\y \in \mathbb{Z}\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}\frac{{m + 2}}{{m + 1}} \in \mathbb{Z}\\\frac{1}{{m + 1}} \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)
Ta có: \(\frac{1}{{m + 1}} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow m + 1 \in U\left( 1 \right) = \left\{ { – 1;\,\,1} \right\}.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = – 1\\m + 1 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ + )\,\,\,m = – 2 \Rightarrow x = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\\ + )\,\,\,m = 0 \Rightarrow x = 2\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)
Vậy \(m \in \left\{ { – 2;\,\,0} \right\}\) thỏa mãn bài toán.