Cho hệ phương trình sau.Tìm m để A=xy đạt GTNN $\left \{ {{x+y=2m-1} \atop {x^2+y^2=m^2+2m-3}} \right.$ 08/08/2021 Bởi Valentina Cho hệ phương trình sau.Tìm m để A=xy đạt GTNN $\left \{ {{x+y=2m-1} \atop {x^2+y^2=m^2+2m-3}} \right.$
Đáp án: m=1 Giải thích các bước giải: $\eqalign{ & {x^2} + {y^2} = {m^2} + 2m – 3 \cr & \Leftrightarrow {(x + y)^2} – 2xy = {m^2} + 2m – 3 \cr & \Leftrightarrow {(2m – 1)^2} – 2xy = {m^2} + 2m – 3 \cr & \Leftrightarrow 4{m^2} – 4m + 1 – 2xy = {m^2} + 2m – 3 \cr & \Leftrightarrow 2xy = 3{m^2} – 6m + 4 \cr & \Leftrightarrow xy = \frac{3}{2}{m^2} – 3m + 2 \cr & = \frac{3}{2}\left( {{m^2} – 2m + \frac{4}{3}} \right) \cr & = \frac{3}{2}\left[ {{{(m – 1)}^2} + \frac{1}{3}} \right] \cr & = \frac{3}{2}{(m – 1)^2} + \frac{1}{2} \cr} $ Vì $\frac{3}{2}{(m – 1)^2} \geqslant 0\forall m$ => $\frac{3}{2}{(m – 1)^2} + \frac{1}{2} \geqslant \frac{1}{2}\forall m$ => $xy \geqslant \frac{1}{2}\forall m$ Dấu = xảy ra khi và chỉ khi m-1=0 <=> m=1 Bình luận
Đáp án: m=1
Giải thích các bước giải:
$\eqalign{ & {x^2} + {y^2} = {m^2} + 2m – 3 \cr & \Leftrightarrow {(x + y)^2} – 2xy = {m^2} + 2m – 3 \cr & \Leftrightarrow {(2m – 1)^2} – 2xy = {m^2} + 2m – 3 \cr & \Leftrightarrow 4{m^2} – 4m + 1 – 2xy = {m^2} + 2m – 3 \cr & \Leftrightarrow 2xy = 3{m^2} – 6m + 4 \cr & \Leftrightarrow xy = \frac{3}{2}{m^2} – 3m + 2 \cr & = \frac{3}{2}\left( {{m^2} – 2m + \frac{4}{3}} \right) \cr & = \frac{3}{2}\left[ {{{(m – 1)}^2} + \frac{1}{3}} \right] \cr & = \frac{3}{2}{(m – 1)^2} + \frac{1}{2} \cr} $
Vì $\frac{3}{2}{(m – 1)^2} \geqslant 0\forall m$
=> $\frac{3}{2}{(m – 1)^2} + \frac{1}{2} \geqslant \frac{1}{2}\forall m$
=> $xy \geqslant \frac{1}{2}\forall m$
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi m-1=0
<=> m=1