Cho hệ phương trình x + y = 5 và x + my = 1. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x > 0, y > 0
Giúp mình với :33
Cho hệ phương trình x + y = 5 và x + my = 1. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn x > 0, y > 0
Giúp mình với :33
Đề: $\begin{cases}x+y=5\\x+my=1\end{cases}$
Từ $x+y=5\to x=5-y$
Thay $x=5-y$ vào $x+my=1$, ta có:
$5-y+my=1$
$⇔y(m-1)=-4$
$⇔y=\dfrac{-4}{m-1} \ \ (m\ne1)$
Thay $y=\dfrac{-4}{m-1}$ vào $x=5-y$, ta có:
$x=5-\dfrac{-4}{m-1}=5+\dfrac{4}{m-1}=\dfrac{5m-1}{m-1} \ \ (m\ne1)$
Ta có:
$x>0⇔\dfrac{5m-1}{m-1}>0$
$⇔\left[\begin{array}{l}\begin{cases}5m-1>0\\m-1>0\end{cases}\\\begin{cases}5m-1<0\\m-1<0\end{cases}\end{array}\right.$ $⇔\left[\begin{array}{l}\begin{cases}m>\dfrac{1}{5}\\m>1\end{cases}\\\begin{cases}m<\dfrac{1}{5}\\m<1\end{cases}\end{array}\right.$ $⇔\left[\begin{array}{l}m>1\\m<\dfrac{1}{5}\end{array}\right. \ \ (1)$
Lại có:
$y>0⇔\dfrac{-4}{m-1}>0$
$⇔m-1<0$
$⇔m<1 \ \ (2)$
Từ $(1)$ và $(2)\to m<\dfrac{1}{5}$
Vậy $m<\dfrac{1}{5}$ thì $x>0;y>0$
Đáp án + giải thích các bước giải:
$ \left\{\begin{matrix} x+y=5(1)\\x+my=1(2) \end{matrix}\right.$
Từ `(1)->x=5-y(3)`
Thế `(3)` vào `(2)`, có:
`5-y+my=1`
`->y(m-1)=-4(4)`
Với `m=1`, phương trình `(4)` có dạng
`0y=-4`
`->`Phương trình vô nghiệm
`->`Hệ phương trình vô nghiệm
Với `m \ne 1`, phương trình có nghiệm duy nhất
`y=-4/(m-1)`
`->`Hệ phương trình có hệ nghiệm duy nhất
$\left\{\begin{matrix} y=\dfrac{-4}{m-1}\\x=5-\dfrac{-4}{m-1}=\dfrac{5m-5+4}{m-1}=\dfrac{5m-1}{m-1} \end{matrix}\right.$
Để hệ phương trình có hệ nghiệm duy nhất thỏa mãn `x>0;y>0` thì
$ \left\{\begin{matrix} \dfrac{-4}{m-1}>0\\\dfrac{5m-1}{m-1}>0 \end{matrix}\right. \\ \rightarrow \left\{\begin{matrix} m-1<0\\\dfrac{5m-1}{m-1}>0 \end{matrix}\right. \\ \rightarrow \left\{\begin{matrix} m-1<0\\5m-1<0 \end{matrix}\right. \\ \rightarrow m<\dfrac{1}{5}$
Vậy `m<1/5` thì hệ phương trình có hệ nghiệm duy nhất thỏa mãn `x>0;y>0`