cho hệ pt (m-1)X-mY=3m-1 2X-Y=m-5 tìm m để pt có nghiệm duy nhất (X;Y) mà P=$X^2$ +$y^2$ đạt giá trị nhỏ nhất 22/07/2021 Bởi aihong cho hệ pt (m-1)X-mY=3m-1 2X-Y=m-5 tìm m để pt có nghiệm duy nhất (X;Y) mà P=$X^2$ +$y^2$ đạt giá trị nhỏ nhất
Đáp án:m=1 Giải thích các bước giải: (m-1)X-mY=3m-1(1) 2X-Y=m-5(2) Từ (2) -> y = 2x – m – 5 (*) thay vào pt(1) ta được (m – 1)x – m(2x – m – 5) = 3m – 1-> mx – x – 2mx + m^2 + 5m – 3m + 1 = 0-> (1 + m)x = m^2 + 2m + 1-> (1 + m)x = (m + 1)^2. m khác -1 ta có x = m + 1 thay vào (*) ta có: y = 2(m + 1) – m – 5 = m – 3x^2 + y^2 = (m + 1)^2 + (m – 3)^2 = 2m^2 – 4m + 10 = 2(m^2 – 2m + 1 + 4) = 2(m – 1)^2 + 8 >=8GTNN xảy ra khi m = 1 Bình luận
$\left\{\begin{matrix}(m-1)x-my=3m-1\\ 2x-y=m+5\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(m-1)x-m(2x-m-5)=3m-1\\ y=2x-m-5\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-(m+1)x=3m-1-m^2-5m\\ y=2x-m-5\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(m+1)x=(m+1)^2\\ y=2x-m-5\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=m+1\\ y=2(m+1)-m-5\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=m+1\\ y=m-3\end{matrix}\right.$ $P=x^2+y^2=(m+1)^2+(m-3)^2$ Theo Cô-si ta có: $(m+1)^2+(m-3)^2\ge2\sqrt{(m+1)^2(m-3)^2}$ Dấu ‘=’ xảy ra khi $(m+1)^2=(m-3)^2$ $\Leftrightarrow m^2+2m+1=m^2-6m+9\\ \Leftrightarrow 8m=8\Leftrightarrow m=1$ $m=1\Rightarrow P=(1+1)^2+(1-3)^2=8$ Vậy $Min_P=8$ khi $m=1$ Bình luận
Đáp án:m=1
Giải thích các bước giải:
(m-1)X-mY=3m-1(1)
2X-Y=m-5(2)
Từ (2) -> y = 2x – m – 5 (*) thay vào pt(1) ta được (m – 1)x – m(2x – m – 5) = 3m – 1
-> mx – x – 2mx + m^2 + 5m – 3m + 1 = 0
-> (1 + m)x = m^2 + 2m + 1
-> (1 + m)x = (m + 1)^2
. m khác -1 ta có x = m + 1 thay vào (*) ta có: y = 2(m + 1) – m – 5 = m – 3
x^2 + y^2 = (m + 1)^2 + (m – 3)^2 = 2m^2 – 4m + 10 = 2(m^2 – 2m + 1 + 4) = 2(m – 1)^2 + 8 >=8
GTNN xảy ra khi m = 1
$\left\{\begin{matrix}(m-1)x-my=3m-1\\ 2x-y=m+5\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(m-1)x-m(2x-m-5)=3m-1\\ y=2x-m-5\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-(m+1)x=3m-1-m^2-5m\\ y=2x-m-5\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}(m+1)x=(m+1)^2\\ y=2x-m-5\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=m+1\\ y=2(m+1)-m-5\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=m+1\\ y=m-3\end{matrix}\right.$
$P=x^2+y^2=(m+1)^2+(m-3)^2$
Theo Cô-si ta có:
$(m+1)^2+(m-3)^2\ge2\sqrt{(m+1)^2(m-3)^2}$
Dấu ‘=’ xảy ra khi $(m+1)^2=(m-3)^2$
$\Leftrightarrow m^2+2m+1=m^2-6m+9\\ \Leftrightarrow 8m=8\Leftrightarrow m=1$
$m=1\Rightarrow P=(1+1)^2+(1-3)^2=8$
Vậy $Min_P=8$ khi $m=1$