CHO HINH BINH HANH ABCD CO AB =2AD GOI E,F lan luot la trung diem cua AB va CD
a) cac tu giac AEFD ,AECF la hinh gi vi sao
b) goi M la giao diem cua AF va DE, N la giao diem cua BF va CE
cmr EMFN la hcn
c) Hinh binh hanh abcd can them dieu kien gi thi EMFN la hinh vuong
a) Do E, F là trung điểm AB, CD và AB = CD nên
$AE = EB = \dfrac{1}{2} AB = \dfrac{1}{2} CD= DF = FC = AD = BC$.
Xét tứ giác AEFD có AE//DF và AE = DF nên tứ giác AEFD là hình bình hành.
Lại có AE = AD nên tứ giác AEFD là hình thoi.
CMTT ta có tứ giác BEFC là hình thoi.
Xét tứ giác AECF có AE//CF và AE = CF, do đó tứ giác AECF là hình bình hành.
b) Do tứ giác AEFD là hình thoi nên $AF \perp ED$.
Lại có tứ giác AECF là hình bình hành nên AF//EC.
Vậy $ED \perp EC$.
Do tứ giác BEFC là hình thoi nên $EN \perp BF$.
Xét tứ giác ENFM có
$\widehat{FME} = \widehat{MEN} = \widehat{ENF} = 90^{\circ}$
Vậy tứ giác EMFN là hình chữ nhật.
c) Để tứ giác EMFN là hình vuông thì EF phải là phân giác $\widehat{ECD}$.
Lại có EF là đường trung tuyến của tam giác ECD, do đó tam giác ECD vuông cân tại E.
Suy ra $\widehat{EDF} = 45^{\circ}$
Lại có tứ giác AEFE là hình thoi nên
$\widehat{ADE} = \widehat{EDF} = 45^{\circ}$
Lại có AE//DF nên $\widehat{AED} = \widehat{EDF} = 45^{\circ}$
Suy ra $\widehat{EAD} = 90^{\circ}$
Suy ra tứ giác ABCD là hình chữ nhật.