Cho hình bình hành ABCD có BC=2AB. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và AD. E đối xứng với D qua AB. P là giao điểm của AM và BN. Q là giao điểm của MD và CN. K là giao điểm của tia BN và CD. Chứng minh tứ giác PMQN là hình chữ nhật
Cho hình bình hành ABCD có BC=2AB. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và AD. E đối xứng với D qua AB. P là giao điểm của AM và BN. Q là giao điểm của MD và CN. K là giao điểm của tia BN và CD. Chứng minh tứ giác PMQN là hình chữ nhật
Giải thích các bước giải:
Vì ABCD là hình bình hành
=> AD//BC, AD=BC, AB=CD, AB//CD
Vì N là trung điểm AD
=> AD=2AN
=> AN=AB
Vì M là trung điểm BC
=> BC=2BM
=> BM=AN=AB
Vì AN//BM(cmt(
=> ANMB là hình thoi
=> $AM \bot BN$
Chứng minh tương tự: $CN \bot DM$
Vì ANMB là hình thoi
=> $\angle NAM = \angle AMN$
Chứng minh tương tự: $\angle NDM = \angle NMD$
=>$\angle NAM + \angle NDM = \angle AMN + \angle NMD$
=> $\angle NAM + \angle NDM = \angle AMD$
$\begin{gathered} Vì\,\angle NAM + \angle NDM + \angle AMD = 180^\circ \hfill \\ \Rightarrow 2\angle AMD = 180^\circ \hfill \\ = > \angle AMD = 90^\circ \hfill \\ = > AM \bot MD \hfill \\ \end{gathered} $
=> tứ giác PMQN là hình chữ nhật(đpcm)