Cho hình bình hành ABCD có BC=2AB. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của BC và AD. Gọi P là giao điểm của AM và BN, Q là giao điểm của MD với CN, K là giao điểm của tia BN với tia CD.
a) Chứng minh tứ giác MBKD là hình thang.
b) PMQN là hình gì?
c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để PMQN là hình vuông
CM tứ giác MBND là hình bình hành.
Vì ABCD là hình bình hành => AD = BC => AN = ND = BM = MC
Và vì AD // BC => ND // BM
Xét tứ giác MBND, ta có:
ND // BM
ND = BM
=> Tứ giác MBND là hình bình hành.
=> NB // MD . Mà NB giao với MD = {K}
=> B, N , K thẳng hàng.
Xét tứ giác MBKD, ta có:
NB // MD
B, N , K thẳng hàng
=> MD // BK
=> Tứ giác MBKD là hình thang ( đpcm ).
b) Vì P thuộc BK, Q thuộc MD mà BK // MD => QM // PN ( 1 )
Vì P thuộc AM, Q thuộc NC => PM // QN (2)
Từ (1), (2) => PMQN là hình bình hành. ( 3 )
Theo CM ở câu a) => ANMB là hình thoi ( có 4 cạnh bằng nhau )
=> AM vuông góc với BN. (4)
Từ (3), (4) =>PMQN là hình chữ nhật.
c) Để PMQN là hình vuông thì hình bình hành phải có thêm điều kiện là góc A = 90o
Nếu A = 90o thì tứ giác ANMB là hình vuông => AM vuông góc với BN
Theo tính chất đường chéo của hình vuông => PN = PM
=> HCN PMQN có 2 cạnh kề bằng nhau nên nó sẽ là hình vuông ( đpcm).