Cho hình bình hành ABCD, giao điểm hai đường chéo là O, cho AC=4a, Bd=6a, AB=2a. Tính tích vô hướng vecto AC. vecto BD theo a

Đáp án:

$18a^2$

Giải thích các bước giải:

$ABCD$ là hình bình hành

$AC\cap BD = \{O\}$

$\to \begin{cases}OA = OC =\dfrac12AC = 2a\\OB = OD =\dfrac12BD = 3a\end{cases}$

Áp dụng định lý $\cos$ ta được:

$AB^2 = OA^2+ OB^2 – 2OA.OB.\cos\widehat{AOB}$

$\to \cos\widehat{AOB}=\dfrac{OA^2 + OB^2 – AB^2}{2OA.OB}$

$\to \cos\widehat{COD}=\dfrac{4a^2 + 9a^2 – 4a^2}{2.2a.3a}=\dfrac{3}{4}$

Ta có:

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}$

$= 2\overrightarrow{OC}.2\overrightarrow{OD}$

$= 4.|\overrightarrow{OC}|.|\overrightarrow{OD}|.\cos(\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD})$

$= 4.OC.OD.\cos\widehat{COD}$

$= 4.2a.3a.\dfrac34$

$= 18a^2$