Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng với điểm A qua B, lấy điểm F sao cho D là trung điểm của AF. 1. Chứng minh tứ giác DBEC là hình bình hành. 2. Chứng minh C là trung điểm của đoạn EF. 3. Chứng minh ba đường thẳng AC, BF, DE đồng quy. 4. Gọi M là giao điểm của CD và BF, N là giao điểm của AM và CF. Chứng minh FN = 2/3 FC.
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
1) Do E là điểm đối xứng với điểm A qua B nên AB=BE=DC và BE//DC
(do ABCD là hình bình hành)
Xét tứ giác DBEC có BE=DC và BE//DC
⇒DBEC là hình bình hành(đpcm)
2) ABCD là hình bình hành ⇒ ∠ABC= ∠ADC(1)
Ta có: ∠ABC+ ∠CBE=180(2)
∠ADC+ ∠FDC=180(3)
Từ (1), (2), (3) ⇒ ∠CBE= ∠FDC
Do D là trung điểm của AF ⇒DF=BC(=AD)
Xét ΔFDC và ΔCBE có:
FD=CB
∠FDC= ∠CBE
DC=BE
⇒ΔFDC = ΔCBE(c.g.c)
⇒FC=CE( hai cạnh tương ứng)
Xét tứ giác BCFD có
BC=FD(=AD)
BC//FD( do BC//AD)
⇒BCFD là hình bình hành
⇒DB//FC(b)
có: BD//EF(c) do BD là đường trung bình của ΔAEF
lại có: BD//CE(a) do BDCE là hình bình hành
Từ (a), (b), (c) ⇒F, C, E thẳng hàng
Lại có: FC=CE=DB=1/2.EF( do BD là đường trung bình của ΔAEF)
⇒C là trung điểm của EF( đpcm)
3) Xét ΔAEF có B là trung điểm AE, C là trung điểm EF, D là trung điểm AF
⇒AC, BF, DE lần lượt là các đường trung tuyến của ΔAEF
⇒AC, BF, DE đồng quy(đpcm)