Cho hình bình hành ABCD, lấy điểm M trên BD sao cho MB khác MD. Đường thẳng qua
M và song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Đường thẳng qua M và song
song với AD cắt AB và CD lần lượt tại K và H.
a. Chứng minh: KF // EH.
b. Chứng minh: các đường thẳng EK, HF, BD đồng quy.
c. Chứng minh: S MKAE = S MHCF .
a, Gọi giao điểm của `AC` và `BD` là `O` và `FK` và `BM` là `J` theo đề ta suy ra được: `OA=OC;OB=OD;JF=JK;JB=JM;IE=IH`
Ta có: $KM//AD;MF//DC$
Áp dụng ta-lét ta có:
`(BK)/(BA)=(BM)/BD)=(BF)/(BC)`
$=>KF//AC(1)$
Và: `(DH)/(DC)=(DM)/(DB)=(DE)/(DA)`
$=>HE//AC(2)$
Từ: $(1)+(2)=>KF//EH$
b, Gọi `N,I` là giao điểm của `EK` và `HF` ; `NJ` và `HE` áp dụng talet có:
`(KJ)/(EI)=(NJ)/(NI)=(FJ)/(I’H)`
Và: `KJ=JF`
`=>EI’=I’H`
`=>I≡I’`
`=> EK, HF, BD` đồng quy.
c, Ta có: `S_{ABD}=S_{CDB}` và `S_{KBM}=S_{BFM};S_{EDM}=S_{HDM}`
`=>S_{ABD}-S_{EMD}-S_{BKM}=S_{CBD}-S_{BFM}-S_{HDM}`
`=>S_{MKAE} = S_{MHCF}`
Đáp án:
Xét tam giác ADM và tam giác CBN có:
AD = CN (ABCD là hình bình hành)
ADM = CBN (2 góc so le trong, AB // CB)
DM = BN (gt)
=> Tam giác ADM = Tam giác CBN (c.g.c)
=> AM = CN (2 cạnh tương ứng)
AMD = CNB (2 góc tương ứng) => 1800 – AMD = 1800 – CNB => AMN = CNM mà 2 góc này ở vị trí so le trong => AM // CN
=> AMCN là hình bình hành
=> AMCN là hình thoi
<=> AC _I_ BD
<=> ABCD là hình thoi
Giải thích các bước giải: