Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BC=3a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SC và mặt phẳng (SAB)=30° . Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BC=3a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa SC và mặt phẳng (SAB)=30° . Tính thể tí
By Ruby
Ta có:
SA⊥(ABC)SA⊥(ABC)
→SA⊥BC→SA⊥BC
mà BC⊥ABBC⊥AB
nên BC⊥(SAB)BC⊥(SAB)
→BC⊥SB;ˆ(SC;(SAB))=ˆBSC=30∘→BC⊥SB;(SC;(SAB))^=BSC^=30∘
→SC=BCsin30∘=6a→SC=BCsin30∘=6a
Gọi II là trung điểm SCSC
→IS=IC=12SC=3a→IS=IC=12SC=3a
Xét ΔSBC∆SBC vuông tại B(BC⊥SB)B(BC⊥SB) có:
II là trung điểm cạnh huyền SCSC
→IS=IC=IB→IS=IC=IB
Xét ΔSAC ∆SAC vuông tại AA có:
II là trung điểm cạnh huyền SCSC
→IS=IC=IA→IS=IC=IA
Do đó: IS=IA=IB=ICIS=IA=IB=IC
→I→I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCS.ABC, bán kính R=3aR=3a
Ta được:
Vkhối cầu=43πR3=4π(3a)33=36πa3
Đáp án:
$V = 36\pi a^3$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$SA\perp (ABC)$
$\to SA\perp BC$
mà $BC\perp AB$
nên $BC\perp (SAB)$
$\to BC\perp SB;\, \widehat{(SC;(SAB))}=\widehat{BSC}=30^\circ$
$\to SC =\dfrac{BC}{\sin30^\circ}= 6a$
Gọi $I$ là trung điểm $SC$
$\to IS = IC =\dfrac12SC = 3a$
Xét $∆SBC$ vuông tại $B\,\,(BC\perp SB)$ có:
$I$ là trung điểm cạnh huyền $SC$
$\to IS = IC = IB$
Xét $∆SAC$ vuông tại $A$ có:
$I$ là trung điểm cạnh huyền $SC$
$\to IS = IC = IA$
Do đó: $IS = IA = IB = IC$
$\to I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$, bán kính $R = 3a$
Ta được:
$V_{\text{khối cầu}}= \dfrac43\pi R^3 =\dfrac{4\pi(3a)^3}{3}= 36\pi a^3$