Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ mp(ABC), các tam giác ABC và SBC không vuông. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:
a) AH, SK, BC đồng quy
b) SC ⊥ mp(BHK);
c) HK ⊥ mp(SBC)
ko vẽ hình nha các anh chị
giúp nha
Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ mp(ABC), các tam giác ABC và SBC không vuông. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:
a) AH, SK, BC đồng quy
b) SC ⊥ mp(BHK);
c) HK ⊥ mp(SBC)
ko vẽ hình nha các anh chị
giúp nha
Đáp án+Giải thích các bước giải:
a) Gọi `I` là giao điểm của hai đường thẳng `AH` và `BC`
Ta có `BC ⊥ AH` (do `H` là trực tâm `ΔABC`)
`BC ⊥ SA` (do `SA ⊥ mp(ABC`))
⇒` BC ⊥ (SAI)` mà `SI ⊂ (SAI)` nên : `BC ⊥ SI (1)`
`K` là trực tâm `ΔSBC` nên `BC ⊥ SK (2)`
Từ (1) và (2) suy ra: `SI≡SK `hay ba điểm `S, K, I` thẳng hàng.
=> Đường thẳng `SK` đi qua `I`
Vậy `AH, SK, BC` đồng quy tại` I`
b) Ta có `BH ⊥ AC `( vì `H` là trực tâm tam giác` ABC`)
và `BH ⊥ SA` ( vì `SA ⊥ mp(ABC`)).
Suy ra: `BH ⊥ mp(SAC)` suy ra `BH ⊥ SC`
Mặt khác `SC ⊥ BK` (vì `K` là trực tâm tam giác `SBC`)
nên `SC ⊥` mặt phẳng`(BHK)`
c) Ta có `SC ⊥ HK` (do `SC ⊥ `mặt phẳng`(BHK))`
Mà `HK ⊥ BC` (do `BC ⊥` mặt phẳng`(SAI))`
Vậy `HK ⊥ (SBC)`.