cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB=a, AD = 2a. mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với ( ABCD).Gọi H là hình chiếu của A lên SD.

0 bình luận về “cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB=a, AD = 2a. mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với ( ABCD).Gọi H là hình chiếu của A lên SD.”

1. Đáp án:

   $d(AH;SC) = \dfrac{a\sqrt{285}}{57}$

   Giải thích các bước giải:

   Ta có:

   $\begin{cases}(SAB)\perp (ABCD) \, (gt)\\(SAC)\perp (ABCD)\, (gt)\\(SAB)\cap (SAC) = SA\end{cases}$

   $\Rightarrow SA\perp (ABCD)$

   Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

   $\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{AD^2} + \dfrac{1}{SA^2}$

   $\Rightarrow SA = \dfrac{AH.AD}{\sqrt{AD^2 – AH^2}} = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$

   Áp dụng định lý Pytago, ta được:

   $AC^2 = BC^2 + CD^2 = AB^2 + AD^2 = 5a^2$

   $SC^2 = SA^2 + AC^2 = \dfrac{19a^2}{3}$

   $\Rightarrow SC = \dfrac{a\sqrt{57}}{3}$

   $SA^2 = SH^2 + AH^2$

   $\Rightarrow SH = \sqrt{SA^2 – AH^2} = a\sqrt5$

   Ta có:

   $SA\perp (ABCD) \, (cmt)$

   $\Rightarrow SA\perp CD$

   mà $CD\perp AD$

   $\Rightarrow CD\perp (SAD)$

   $\Rightarrow CD\perp AH; \, CD\perp SD$

   mà $AH\perp SD \,(gt)$

   $\Rightarrow AH\perp (SCD)$

   Từ $H$ kẻ $HK\perp SC$

   $\Rightarrow AH\perp HK$

   $\Rightarrow HK = d(AH;SC)$

   Xét $∆SHK$ và $∆SCD$ có:

   $\widehat{K} = \widehat{D} = 90^o$

   $\widehat{CSD}:$ góc chung

   Do đó $∆SHK\sim ∆SCD \, (g.g)$

   $\Rightarrow \dfrac{HK}{CD} = \dfrac{SH}{SC}$

   $\Rightarrow HK = \dfrac{SH.CD}{SC} = \dfrac{a\sqrt{285}}{57}$

   Bình luận