cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật cạnh AB=a, AD = 2a. mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với ( ABCD).Gọi H là hình chiếu của A lên SD.

Đáp án:

$d(AH;SC) = \dfrac{a\sqrt{285}}{57}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$\begin{cases}(SAB)\perp (ABCD) \, (gt)\\(SAC)\perp (ABCD)\, (gt)\\(SAB)\cap (SAC) = SA\end{cases}$

$\Rightarrow SA\perp (ABCD)$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{AD^2} + \dfrac{1}{SA^2}$

$\Rightarrow SA = \dfrac{AH.AD}{\sqrt{AD^2 – AH^2}} = \dfrac{2a\sqrt3}{3}$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$AC^2 = BC^2 + CD^2 = AB^2 + AD^2 = 5a^2$

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = \dfrac{19a^2}{3}$

$\Rightarrow SC = \dfrac{a\sqrt{57}}{3}$

$SA^2 = SH^2 + AH^2$

$\Rightarrow SH = \sqrt{SA^2 – AH^2} = a\sqrt5$

Ta có:

$SA\perp (ABCD) \, (cmt)$

$\Rightarrow SA\perp CD$

mà $CD\perp AD$

$\Rightarrow CD\perp (SAD)$

$\Rightarrow CD\perp AH; \, CD\perp SD$

mà $AH\perp SD \,(gt)$

$\Rightarrow AH\perp (SCD)$

Từ $H$ kẻ $HK\perp SC$

$\Rightarrow AH\perp HK$

$\Rightarrow HK = d(AH;SC)$

Xét $∆SHK$ và $∆SCD$ có:

$\widehat{K} = \widehat{D} = 90^o$

$\widehat{CSD}:$ góc chung

Do đó $∆SHK\sim ∆SCD \, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{HK}{CD} = \dfrac{SH}{SC}$

$\Rightarrow HK = \dfrac{SH.CD}{SC} = \dfrac{a\sqrt{285}}{57}$