cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a
cạnh bên sa =a, hình chiếu vuông góc của s trên (ABCD) là điểm h thuộc ac sao cho ah= ac/4
gọi cm là đường cao của tam giác sac
cm rằng m là trung điểm của sa và tính thể tích khối tứ diện S.MBC theo a.
Đáp án:
$V_{S.MBC} = \dfrac{a^3\sqrt{14}}{48} \,(đvtt)$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ $(gt)$
$\Rightarrow AC = a\sqrt2$
$\Rightarrow \begin{cases}AH = \dfrac{1}{4}AC = \dfrac{a\sqrt2}{4}\\HC = \dfrac{3}{4}AC = \dfrac{3a\sqrt2}{4}\end{cases}$
Do $SH\perp (ABCD)$
$\Rightarrow SH\perp AC$
$\Rightarrow ∆SHA; \, ∆SHC$ vuông tại $H$
Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$SA^2 = SH^2 + HA^2$
$\Rightarrow SH^2 = SA^2 – HA^2 = \dfrac{7a^2}{8}$
$SC^2 = SH^2 + HC^2 = 2a^2$
Ta cũng có:
$AC^2 = 2a^2$
$\Rightarrow SC = AC$
$\Rightarrow ∆SAC$ cân tại $C$
Ta lại có: $CM\perp SA \, (gt)$
$\Rightarrow MA= MS$
Hay $M$ là trung điểm của $SA$
Từ $M$ kẻ $MK\perp AC \,(K\in AC)$
$\Rightarrow MK//SH \, (\perp AC)$
$\Rightarrow MK\perp (ABCD)$
$\Rightarrow MK= \dfrac{1}{2}SH$ (theo tính chất đường trung bình)
Ta được:
$V_{S.MBC} = V_{S.ABC} – V_{M.ABC}$
mà $MK = \dfrac{1}{2}SH$
$\Rightarrow V_{M.ABC} = \dfrac{1}{2}V_{S.ABC}$
Mặt khác: $V_{S.ABC} = \dfrac{1}{2}V_{S.ABCD}$
Do đó $V_{S.MBC} = \dfrac{1}{4}V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{3}.a^2.\sqrt{\dfrac{7a^2}{8}} = \dfrac{a^3\sqrt{14}}{48} \,(đvtt)$