cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB=2, các cạnh bên đều bằng 2. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD=?

Đáp án:

Tam giác ABC vuông cân tại B nên trung điểm M của AC là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Các cạnh bên bằng nhau và bằng 2 nên M chính là hình chiếu của S lên (ABC)

Gọi N là trung điểm của SA, từ N kẻ đt vuông góc với SA cắt SM tại O

=> O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Ta có:

$\begin{array}{l}
SM = \sqrt {S{A^2} – A{M^2}}  = \sqrt {{2^2} – {{\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt 2 \\
\frac{{SN}}{{SH}} = \frac{{SO}}{{SA}} \Rightarrow SO = \frac{{SN.SA}}{{SH}} = \frac{{1.2}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \\
 \Rightarrow O \equiv M\\
 \Rightarrow R = SO = SM = \sqrt 2 \\
 \Rightarrow V = \frac{{4\pi }}{3}{R^3} = \frac{{4\pi .2\sqrt 2 }}{3} = \frac{{8\pi \sqrt 3 }}{3}
\end{array}$