Cho hình chóp S.ABCD có tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết rằng ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD=AB=2a, BC=3a/2. Gọi I là trung điểm cạnh đáy AB. Tính thể tích V của khối chóp S.ICD.
Cho hình chóp S.ABCD có tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết rằng ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD=AB=2a, BC=3a/2. Gọi I là trung điểm cạnh đáy AB. Tính thể tích V của khối chóp S.ICD.
Đáp án:
$V_{S.ICD} = \dfrac{7a^3\sqrt3}{12}$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$ΔSAB$ đều
$IA = IB = \dfrac{AB}{2}$ $(gt)$
$\Rightarrow SI\perp AB$
Ta lại có:
$(SAB)\perp (ABCD)$
$(SAB)\cap (ABCD) = AB$
$SI\perp AB$
$\Rightarrow SI\perp (ABCD)$
$\Rightarrow V_{S.ICD} = \dfrac{1}{3}S_{ICD}.SI$
Ta được:
$SI = \dfrac{AB\sqrt3}{2} = \dfrac{2a\sqrt3}{2} = a\sqrt3$
$S_{ICD} = S_{ABCD} – S_{IAD} – S_{IBC}$
$= \dfrac{1}{2}[(AD+BC).AB – IA.AD – IB.BC]$
$= \dfrac{1}{2}\left[\left(2a + \dfrac{3a}{2}\right).2a – a.2a – a.\dfrac{3a}{2}\right] = \dfrac{7a^2}{4}$
Do đó:
$V_{S.ICD} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{7a^2}{4}.a\sqrt3 = \dfrac{7a^3\sqrt3}{12}$