cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a tâm O. SA vuông góc với (ABCD), SA = a. a) chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông

0 bình luận về “cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a tâm O. SA vuông góc với (ABCD), SA = a. a) chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông”

1. a) Ta có: $SA\perp (ABCD) \, (gt)$

   $\Rightarrow SA\perp AB$

   $\Rightarrow ∆SAB$ vuông tại $A$

   Tương tự, ta được: $SA\perp AD$

   $\Rightarrow ∆SAD$ vuông tại $A$

   $SA\perp AD$

   $CD\perp AD$

   $\Rightarrow CD\perp (SAD)$

   mà $SD ⊂ (SAD)$

   $\Rightarrow CD\perp SD$

   $\Rightarrow ∆SCD$ vuông tại $D$

   $SA\perp BC$

   $BC\perp AB$

   $\Rightarrow BC\perp (SAB)$

   mà $SB ⊂ (SAB)$

   $\Rightarrow BC\perp SB$

   $\Rightarrow ∆SBC$ vuông tại $B$

   Vậy các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông

   b) Ta có:

   $SA\perp BD$

   $BD\perp AC$

   $\Rightarrow BD\perp (SAC)$

   mà $SC ⊂ (SAC)$

   $\Rightarrow BD\perp SC$

   c) Ta có: $SA\perp (ABCD)$

   $\Rightarrow AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$

   $\Rightarrow \widehat{SCA} = \widehat{(SC;(ABCD))}$

   $tan\widehat{SCA} = \dfrac{SA}{AC} = \dfrac{a}{a\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

   $\Rightarrow \widehat{SCA} = arctan\dfrac{\sqrt{2}}{2} ≈ 35,26^o$

   Ta có:

   $AB = AD$

   $\Rightarrow SD = SB$

   $\Rightarrow ∆SBD$ cân tại $S$

   mà $OB = OD$

   $\Rightarrow SO\perp BD$

   Xét $(ABCD)$ và $(SBD)$ có:

   $(SBD)\cap (ABCD)=BD$

   $SO ⊂ (SBD)$

   $SO\perp BD \,(cmt)$

   $AC ⊂ (ABCD)$

   $AC\perp BD$

   $\Rightarrow \widehat{SOA} = \widehat{((SBD);(ABCD))}$

   $tan\widehat{SOA} = \dfrac{SA}{OA} = \dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2}$

   $\Rightarrow \widehat{SOA} = arctan\sqrt{2} ≈ 54,74^o$

   d) Ta có:

   $(SCD)\cap (ABCD) = CD$

   $AD ⊂ (ABCD)$

   $AD\perp CD$

   $SD ⊂ (SCD)$

   $SD\perp CD$

   $\Rightarrow \widehat{SDA} = \widehat{((SCD);(ABCD))}$

   $tan\widehat{SDA} = \dfrac{SA}{AD} = \dfrac{a}{a} = 1$

   $\Rightarrow \widehat{SDA} = 45^o$

   Ta có: $SA\perp (ABCD)$

   $\Rightarrow AD$ là hình chiếu của $SD$ lên $(ABCD)$

   $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$

   $\Rightarrow ∆ACD$ là hình chiếu của $∆SCD$ lên $(ABCD)$

   $\Rightarrow S_{∆ACD} = \dfrac{1}{2}AD.CD = \dfrac{a^2}{2}$

   Trả lời