Cho hình chóp SABCD. Đáy là hình vuông cạnh 2a; SA= a căn 5. SA vuông góc với đáy a) Tính góc giữa SC và (SAD); góc giữa SB và (SAC) b)Tính góc giữa

Lời giải:

a) Ta có:

$\begin{cases}CD\perp AD\quad \text{(hai cạnh kề của hình vuông)}\\SA\perp CD\quad (SA\perp (ABCD))\end{cases}$

$\Rightarrow CD\perp (SAD)$

$\Rightarrow D$ là hình chiếu của $C$ lên $(SAD)$

$\Rightarrow SD$ là hình chiếu của $SC$ lên $(SAD)$

$\Rightarrow \widehat{(SC;(SAD))}=\widehat{CSD}$

Ta có: $CD\perp (SAD)\quad (cmt)$

$\Rightarrow CD\perp SD$

$\Rightarrow \triangle SCD$ vuông tại $D$

$\Rightarrow \tan\widehat{CSD}=\dfrac{CD}{SD}=\dfrac{CD}{\sqrt{SA^2 + AD^2}}$

$\Rightarrow \tan\widehat{CSD}=\dfrac{2a}{\sqrt{5a^2 + 4a^2}}=\dfrac{2}{3}$

$\Rightarrow \widehat{CSD}=\arctan\left(\dfrac23\right)$

$\Rightarrow \widehat{(SC;(SAD))}= \arctan\left(\dfrac23\right)$

Gọi $O$ là tâm của đáy

$\Rightarrow OA = OB = OC = OD = a\sqrt2$

$\Rightarrow SO =\sqrt{SA^2 + OA^2}=\sqrt{5a^2+2a^2}= a\sqrt7$

Ta có:

$\begin{cases}BO\perp AC\quad (BD\perp AC)\\SA\perp BO\quad (SA\perp (ABCD))\end{cases}$

$\Rightarrow BO\perp (SAC)$

$\Rightarrow O$ là hình chiếu của $B$ lên $(SAC)$

$\Rightarrow SO$ là hình chiếu của $SB$ lên $(SAC)$

$\Rightarrow \widehat{(SB;(SAC))}=\widehat{BSO}$

Ta có: $BO\perp (SAC)\quad (cmt)$

$\Rightarrow BO\perp SO$

$\Rightarrow\triangle SBO$ vuông tại $O$

$\Rightarrow \tan\widehat{BSO}=\dfrac{OB}{SO}=\dfrac{a\sqrt2}{a\sqrt7}=\dfrac{\sqrt{14}}{7}$

$\Rightarrow\widehat{BSO}=\arctan\left(\dfrac{\sqrt{14}}{7}\right)$

$\Rightarrow \widehat{(SB;(SAC))}=\arctan\left(\dfrac{\sqrt{14}}{7}\right)$

b) Ta có:

$\begin{cases}BC\perp AB\quad \text{(hai cạnh kề của hình vuông)}\\SA\perp BC\quad (SA\perp (ABCD))\end{cases}$

$\Rightarrow BC\perp (SAB)$

$\Rightarrow BC\perp SB$

Khi đó:

$\begin{cases}(SBC)\cap (ABCD)= BC\\SB\perp BC\quad (cmt)\\SB\subset (SBC)\\AB\perp BC\quad (gt)\\AB\subset (ABCD)\end{cases}$

$\Rightarrow\widehat{((SBC);(ABCD))}=\widehat{SBA}$

Xét $\triangle SAB$ vuông tại $A$ có:

$\tan\widehat{SBA}=\dfrac{SA}{AB}=\dfrac{a\sqrt5}{2a}=\dfrac{\sqrt5}{2}$

$\Rightarrow\widehat{SBA}=\arctan\left(\dfrac{\sqrt5}{2}\right)$

$\Rightarrow \widehat{((SBC);(ABCD))}=\arctan\left(\dfrac{\sqrt5}{2}\right)$

c) Ta có:

$\begin{cases}AB\perp AD\quad \text{(hai cạnh kề của hình vuông)}\\SA\perp AB\quad (SA\perp (ABCD))\end{cases}$

$\Rightarrow AB\perp (SAD)$

$\Rightarrow AB = d(B;(SAD))=2 a$

Ta lại có:

$BC//AD$ (hai cạnh đối của hình vuông)

$\Rightarrow BC//(SAD)$

$\Rightarrow d(BC;SD)= d(BC;(SAD))= d(B;(SAD))= 2a$

Trả lời