Cho hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a,SB=2a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp
Cho hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a,SB=2a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp
By Elliana
By Elliana
Cho hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a,SB=2a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp
Vì S.ABCD là hình chóp đều nên đường cao SO của hình chóp cũng chính là trục của đa giác đáy
Xét ΔBCD vuông cân tại C có BC = CD = a
⇒ BD = $\sqrt[]{BC² + CD²}$ = a$\sqrt[]{2}$
⇒ BO = $\frac{1}{2}$.BD = $\frac{a\sqrt[]{2}}{2}$
Xét ΔSOB vuông tại O có SB = 2a , BO = $\frac{a\sqrt[]{2}}{2}$
⇒ SO = $\sqrt[]{SB² – BO²}$ = $\frac{a\sqrt[]{14}}{2}$
Trong mp (SOB), ta vẽ trung trực của SB, đường này cắt SO tại I. Rõ ràng I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD
Gọi M là trung điểm của SB
⇒ SM = $\frac{1}{2}$.SB = a
ΔSMI ~ ΔSOB (g.g) nên ta có $\frac{SI}{SB}$ = $\frac{SM}{SO}$
⇒ SI = $\frac{SB.SM}{SO}$ = $\frac{2a.a}{\frac{a\sqrt[]{14}}{2}}$ = $\frac{2a\sqrt[]{14}}{7}$
Vì SI chính là bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD nên ta có
$V_{khối.cầu.ngoại.tiếp.hình.chóp}$ = $\frac{4}{3}$. $\pi$ .SI³ = $\frac{64\pi\sqrt[]{14}}{147}$
Đáp án:\(V=\frac{64\sqrt{14}}{147}\pi a^{3}\)
Giải thích các bước giải:
\(V=\frac{64\sqrt{14}}{147}\pi a^{3}\)