Cho hình chữ nhật ABCD(AB>AD). Trên cạnh AD, BC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM=CN
1/ c/m BM song song DN
2/ Gọi O là trung điểm BD. C/m AC, BD, MN đồng quy tại O
3/ Qua O vẽ đường thẳng d vg góc BD, d cắt cạnh AB tại P, CD tại Q. C/m PBQD là hình thoi
4/ Đường thẳng qua B song song với PQ và qua Q song song với BD cắt nhau tại K. C/m AC vg góc CK
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a,Ta có:$MD//NC$
$AM=NC$
⇒ Tứ giác $MDCN$ là hình bình hành
⇒ $MB//ND$
Ta lại có:$OD=OB$
Mà $ABCD$ là hình chữ nhật
⇒ 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
⇒ AC cắt BD tại O
Xét $ΔOAM$ và $ΔOCN$ có:
$AM=CN$
$\widehat{AOM}$=$\widheat{ONC}$ (2 góc đối đỉnh)
$OA=OC$
⇒$ΔOAM= ΔOCN$(c.g.c)
⇒$\widehat{AOC}$=$\widehat{AOM}$+$\widehat{COM}=180^o$
⇒$\widehat{MOC}$+$\widehat{NOC}180^o$
⇒ $M,O,N$ thẳng hàng
⇒ $BD,AC,MN$ đồng quy tại $O$
c,Xét $ΔOBP$ và $ΔODQ$ có:
$OB=OD$
$\widehat{BOP}$=$\widehat{DOQ}$
$OP=OQ$
⇒ $ΔOBP=ΔODQ$ (c-g-c)
⇒ $BP=DQ$( 2 cạnh tương ứng) (1)
Ta có:$DQ//PB$
⇒ $\widehat{OBP}$=$\widehat{PDO}$( 2 góc đv)
⇒ $ΔBPD$ cân ≡$P$
⇒ $PB= PD$ (2)
Từ (1) và (2)⇒$BP=DQ=PD$
Xét tứ giác BPDQ có:
$BP//DQ$ (gt)
$BP=DQ=PD$ (cmt)
$QP⊥BD$
⇒ BPDQ là hình thoi
d,Mà $\widehat{QPD}=90^o$ (do $QP⊥BD$)
⇒$DBKQ$ là hcn
Ta có:$QK//BD$
⇒ $QK⊥QP$
Mà $BK // AC$
⇒ $BK⊥BD$
⇒ $\widehat{BKD}=90^o$
Xét tứ giác $BOQK$ có:
$\widehat{K}$+$\widehat{B}$+$\widehat{Q}$+$\widehat{O}=360^o$
Hay $\widehat{K}+270^o=360^o$
⇒$\widehat{QKB}=90^o$
Mà $BK//AC$
⇒ $\widehat{BKC}$=$\widehat{ACK}=90^o$
⇒$AC⊥CK$
Học tốt
xin hay nhất ạ
@Minh
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
1) ta có MD//NC
AM=NC
=> Tứ giác MDCN là hình bình hành
=> MB//ND
Ta có O là trung điểm của DB
ABCD là hình chữ nhật
=> 2 đường chéo cắt nhau ta8i trung điểm mỗi đường
=> AC cắt BD tại O
Ta có tam giác OAM và OCN
AM=CN
OA=OC
Góc AOM= góc CON(đđ)
=> T.giác OAM= Tam giác OCN(c.g.c)
=> góc AOC=180⁰= Góc AOM + Góc MOC= Góc NOC+ Góc MOC=180⁰
=> M,O,N thẳng hàng
=> MN qua O
=> BD,AC,MN ĐỒNG QUY TẠI O
Xét 2 tam giác vuông OBP và ODQ
OB=OD
OP=OQ
Góc BOP= Góc DOQ( ĐĐ)
=> Tam giác OBP= Tam giác ODQ(C.G.C)
=> BP=DQ( 2 cạnh tương ứng)
Ta có DQ//PB
=> Góc PBO= Góc PDO( ĐỒNG VỊ)
=> Tam giác BPD cân tẠI P
=> PB= PD
TỨ giác BPDQ
có BP//DQ
BP=DQ=PD
Có QP Vuông góc BD
=> BPDQ là hình thoi
Ta có QK//BD
=> QK vuông góc QP tại Q
BK // AC
=> BK vuông góc BD tại B
Góc BOQ=90⁰
=> tứ giác BOQK CÓ GÓC K= 360⁰-Góc B- góc O- góc Q=90⁰
=> góc QKB=90⁰
BK//AC
=> góc BKC÷= góc ACK=90⁰( So le trong)