Cho hình chữ nhặt ABCD có AD=3AB. Lấy điểm M trên cạnh BC. Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD tại P. Đường thẳng EF ⊥ AM cắt AB tại E và CD tại F. Đường phân giác của góc DAM cắt CD tại K. CMR:
a) `EF=3BM+DK`
b) `1/{AB^2}=1/{AM^2}+9/{AP^2}`
(Có thể đăng bài chứng minh EF+BM+DK)
Bạn tự vẽ hình nhé!
Kẻ AH ⊥ AP tại A (H ∈ DC)
a, Có ∠HAD+ ∠ DAP = ∠HAP = 90 độ
Có ∠BAM+ ∠DAP= ∠BAD= 90 độ
=> ∠HAD= ∠BAM
Xét ΔHAD và ΔMAB có
∠ADH= ∠ABM= 90 độ
∠HAD= ∠BAM
=> ΔHAD ~ ΔMAB (g.g)
=> $\frac{AB}{AD}$ = $\frac{BM}{DH}$= $\frac{AM}{AH}$= $\frac{1}{3}$ (vì AD= 3AB)
=> 3BM= DH và 3AM= AH
Có ∠HAD= ∠BAM
=> ∠HAD+ ∠DAK= ∠BAM+ ∠ KAM (vì AK là tia phân giác ∠DAM)
=> ∠HAK= ∠BAK
Mà ∠BAK= ∠AKH (vì AB// HK)
=> ∠HAK= ∠AKH
=> ΔAKH cân tại H=> AH= HK
Xét tứ giác AHFE có AH// EF ( vì cùng vuông góc với AP), AE// HF (AB// DC)
=> AHFE là hình bình hành
=> AH= EF
=> EF= HK
Có EF= HK= HD+ DK= 3BM+ DK (vì 3BM= HD)
b, Xét ΔHAP vuông tại A
=> $\frac{1}{AD²}$ = $\frac{1}{AH²}$ + $\frac{1}{AP²}$
=> $\frac{1}{9AB²}$ = $\frac{1}{AH²}$ + $\frac{1}{AP²}$
=> $\frac{1}{AB²}$ = $\frac{9}{AH²}$ + $\frac{9}{AP²}$
=> $\frac{1}{AB²}$ = $\frac{9}{AH²}$ + $\frac{9}{AP²}$
=> $\frac{1}{AB²}$ = $\frac{9}{9AM²}$ + $\frac{9}{AP²}$ (vì AH= 3AM)
=> $\frac{1}{AB²}$ = $\frac{1}{AM²}$ + $\frac{9}{AP²}$