Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 6cm ; AB = 8cm . Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O . Qua D kẻ đường thẳng d vuông góc với BD, d cắt BC tại E
a) CM tam giác BDE đồng dạng với tam giác DCE
b) Kẻ CH vuông góc với DE tại H . CM DC bình phương = CH.DB
c) Gọi K là giao điểm của OE và HC . Chứng minh K là trung điểm của HC . Tính tỉ số giữa diện tích tam giác EHC và diện tích tam giác EDB
a) Xét ΔBDEΔBDE và ΔDCEΔDCE ta có :
ˆBDEBDE^=ˆDCEDCE^=900900
ˆEEChung
⇒ →ΔBDE∼ΔDCE→ΔBDE∼ΔDCE (g.g)
b) Ta có : CH⊥DECH⊥DE → BD//CHBD//CH, ˆDHC=ˆDCE=90oDHC^=DCE^=90o
⇒ {ˆBDC=ˆDCHˆBCD=ˆDHC{BDC^=DCH^BCD^=DHC^ (Slt)
⇒→ΔDBC∼ΔCDH(g.g)→DCH=DBC→CD2=CH.BD
Đáp án:
a) Xét $\Delta BDE$ và $\Delta DCE$ ta có :
$ \widehat{BDE}$=$\widehat{DCE}$=$90^{0}$
$ \widehat{E}$:$Chung$
⇒ $\to\Delta BDE\sim\Delta DCE$ (g.g)
b) Ta có : $CH⊥DE$ → $BD//CH$, $\widehat{DHC}=\widehat{DCE}=90^o$
⇒ $\left \{ { \widehat{BDC}=\widehat{DCH} \atop \widehat{BCD}=\widehat{DHC}} \right.$ ($Slt$)
⇒$\to\Delta DBC\sim\Delta CDH(g.g)\to\dfrac{DC}{CH}=\dfrac{DB}{CD}\to CD^2=CH.BD$
c)Vì $ABCD$ là hình chữ nhật → $O$ là trung điểm của $BC$
Mà $CH//BD\to\dfrac{CK}{OB}=\dfrac{EK}{EO}=\dfrac{HK}{OD}\to CK=KH\to$ K là trung điểm HC
Ta có : $\Delta EHC\sim\Delta EDB(g.g)$$\to \dfrac{S_{EHC}}{S_{EBD}}=(\dfrac{EC}{EB})^2$
Do $\widehat{DCB}=\widehat{BDE}\to\Delta BDC\sim\Delta BED(g.g) $$\to\dfrac{BD}{BE}=\dfrac{BC}{BD}$$\to BE=\dfrac{BD^2}{BC}=\dfrac{AB^2+AD^2}{BC}=\dfrac{50}{3}\to EC=BE-BC=\dfrac{32}{3}$$\to \dfrac{S_{EHC}}{S_{EBD}}=\dfrac{256}{625}$