Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a. Biết A’ABC là hình chóp đều và a’d hợp với đáy góc 45 độ. Tính thể tích abcda’b’c’d’
Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a. Biết A’ABC là hình chóp đều và a’d hợp với đáy góc 45 độ. Tính thể tích abcda’b’c’d’
Do A’ABC là hình chóp đều nên $A’A = A’B = A’C = AB = BC = CA = a$.
Gọi $G$ là trọng tâm giác giác $ABC$. Khi đó $A’G \perp ABCD$.
Vậy góc giữa A’D và đáy chính là góc giữa A’D và GD, do đó
$\widehat{A’DG} = 45^{\circ}$.
Gọi O là tâm của ABDC. Khi đó O là trung điểm AD và BC.
Do tam giác ABC đều nên AO là đường cao, do dó $AO = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Vậy $AD = a\sqrt{3}$ và $AG = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
Do đó
$DG = AD-AG = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
Xét tam giác vuông A’GD có $GD = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$ và $\widehat{GDA’} = 45^{\circ}$.
Do đó $A’G = GD = \dfrac{2a\sqrt{3}}{3}$.
Ta có AD và BC là 2 đường chéo và $AD = a\sqrt{3}$ và $BC = a$. Vậy
$V_{ABDC.A’B’D’C’} = A’G . S_{ABDC}$
$= \dfrac{2a\sqrt{3}}{3} . \dfrac{1}{2} . a\sqrt{3}.a$
$= a^3$
Vậy $V_{ABDC.A’B’D’C’} = a^3$.