cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60°. gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. tính chiều cao của hình lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a
cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60°. gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. tính chiều cao của hình lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Thể tích khối lăng trụ:
Gọi D là trung điểm BC, ta có:
BC ⊥ AD ⇒ BC ⊥ A’D ⇒ = 600 .
Ta có: AA’ = AD.tan = :SABC =
Do đó: VABC.A’B’C’ = SABC.AA’ =
-Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC. Gọi H là trọng tâm tam giác ABC. Suy ra:
GA //AA’ ⇒ GH ⊥ (ABC)
Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC, ta có I là giao điểm của GH với mặt phẳng trung trực của đoạn AG.
Gọi E là trung điểm AG, ta có:
R = GI = =
Ta có: GH = = ; AH = ;
GA2 = GH2 + AH2 = .
Do đó: R = . =